人教版数学八年级上册12.3　第2课时　角的平分线的判定 同步提优训练（word版 含答案）

12.3　第2课时　角的平分线的判定
命题点 1　角平分线的判定
如图,∠AOB=60°,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC的度数是 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点M,则点M一定在 (　　)
A.∠A的平分线上 B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
3.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,将一把直尺的一边与射线OB重合,另一把直尺的一边与射线OA重合,并且与第一把直尺交于点P.小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他的依据是 (　　)
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
C.到角两边距离相等的点在角的平分线上
D.对顶角相等
4.如图,若DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,点G在AF上,则∠DGF=　　　　°.
5.如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,BD=CD.求证:AD平分∠BAC.
6.如图,在△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.
求证:AD平分∠BAC.
命题点 2　角平分线的性质与判定的综合
7.如图,直线l1,l2,l3分别表示三条相互交叉的公路,现要建立一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有 (　　)
A.一处 　　　 B.二处 C.三处 　　 D.四处
如图,OP是∠MON内的一条射线,点A,B都在OP上,AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,
BF⊥ON,垂足分别为C,D,E,F,且AC=AD.求证:BE=BF.
9.如图,BD,CD是△ABC外角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:点D在∠A的平分线上.
10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,连接AP.
(1)求证:AP平分外角∠CAM;
(2)过点C作CE⊥AP于点E,延长CE交BM于点D,求证:CE=ED.
11.如图,已知∠C=60°,AE,BD是△ABC的角平分线,且AE,BD交于点P.
(1)求∠APB的度数.
(2)求证:点P在∠C的平分线上.
(3)求证:①PD=PE;②AB=AD+BE.
答案
1.A　 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,
∴OC是∠AOB的平分线.
∵∠AOB=60°,
∴∠DOC=∠AOB=×60°=30°.
2.A
3.A　 如图图所示,过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,垂足分别为E,F.
∵两把长方形直尺完全相同,
∴PE=PF.∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上).
4.150　 ∵DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,
∴AD是∠BAC的平分线.
∵∠BAC=40°,
∴∠CAD=∠BAC=20°.
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为150.
5.证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE.
又∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴AD平分∠BAC.
6.证明:如图图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
则∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD.
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
7.D　 如图图,可选择的地址有四处.
8.证明:∵AC⊥OM,AD⊥ON,AC=AD,
∴射线OP是∠MON的平分线.
又∵点B在OP上,BE⊥OM,BF⊥ON,
∴BE=BF.
9.证明:如图图,过点D作DG⊥BC于点G.
∵BD是∠CBE的平分线,CD是∠BCF的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,DG⊥BC,∴DE=DG,DG=DF.∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴点D在∠A的平分线上.
10.证明:(1)过点P作PT⊥BN于点T,PS⊥AC于点S,PQ⊥BM于点Q,如图图.
∵在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,
∴PQ=PT,PS=PT.∴PQ=PS.
又∵PQ⊥BM,PS⊥AC,∴AP平分外角∠CAM.
(2)∵AP平分外角∠CAM,
∴∠DAE=∠CAE.
∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.
在△AED和△AEC中,
∴△AED≌△AEC.∴CE=ED.
11.解:(1)∵AE,BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠ABC,∠BAP=∠BAC.
∵∠C=60°,∴∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAC)=(180°-∠C)=60°.
∴∠APB=180°-(∠ABP+∠BAP)=120°.
(2)证明:如图图,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,垂足分别为F,G,H.
∵AE,BD分别平分∠CAB,∠CBA,
∴PF=PG,PF=PH.∴PH=PG.
又∵PG⊥AC,PH⊥BC,
∴点P在∠C的平分线上.
(3)证明:①∵∠C=60°,PG⊥AC,PH⊥BC,
∴∠GPH=120°,即∠GPE+∠EPH=120°.又∵∠APB=∠DPE=∠DPG+∠GPE=120°,
∴∠EPH=∠DPG.
又∵PG=PH,∠PGD=∠PHE=90°,
∴△PGD≌△PHE.∴PD=PE.
②如图图,在AB上截取AM,使AM=AD.
又∵∠DAP=∠MAP,AP=AP,
∴△ADP≌△AMP.∴∠APD=∠APM.
∵∠APD=180°-120°=60°,
∴∠APM=60°.
又∵∠APB=120°,
∴∠MPB=60°.
由∠APD=60°,可得∠EPB=60°,
∴∠EPB=∠MPB.
又∵BP=BP,∠EBP=∠MBP,
∴△EBP≌△MBP.∴BE=BM.
∴AB=AM+BM=AD+BE.