人教版数学八年级上册同步提优训练：11.1.3 三角形的稳定性（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册同步提优训练：11.1.3 三角形的稳定性（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 494.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-07-10 10:28:05 | ||
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文档简介
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
命题点 1 三角形的高、中线与角平分线
1.用三角尺作△ABC的边BC上的高,下列三角尺的摆放位置正确的是 ( )
2.如图,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,图中可以作为三角形“高”的线段有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.5条
3.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是 ( )
A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.AB=AC D.BD=CD
4.如图图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的有 ( )
①AD是△ABF的角平分线;②AF是△ABC的角平分线;③AE是△ADF的角平分线;④AF是△ADC的角平分线;⑤AE是△ABC的角平分线.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,且CF⊥AD于点H.下列判断正确的是 ( )
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.CH为△ACD的边AD上的高
D.AH为△ABC的角平分线
命题点 2 交点问题
6.有下列说法:①三角形的中线、角平分线、高都是线段;②三角形的三条高必交于一点;③三角形的三条角平分线必交于一点;④三角形的三条高必在三角形内.其中正确的是 ( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
7.我们知道,三角形的三条高所在直线交于一点.规定:三角形的三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.如图,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,AD,BE,CF交于点G.则点A是 的垂心.
命题点 3 与三角形的高、中线、角平分线相关的计算与证明问题
8.如图,AC,AD分别为△ABE的中线和高,AD为△ACE的中线,已知AD=5,DE=2,则△ABD的面积为 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
9.如图,在△ABC中,∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,∠BDC=76°,DE∥BC,则∠ADE= °.
10.在△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于 .
11.如图,△ABC的周长为24 cm,AC=8 cm,BC边上的中线AD=5 cm,△ABD的周长为16 cm,则AB= .
12.如图,在△ABC中,BC,AC边上的高分别是AD,BE.若BC=5 cm,AD=6 cm,AC=7 cm,求BE的长.
13.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)作△BED的边BD上的高;
(2)若△ABC的面积为20,BD=2.5,求△BDE的边BD上的高.
14.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12 cm和21 cm的两部分,求这个等腰三角形的底边和腰的长度.
15.如图,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN.
命题点 4 三角形的稳定性
16.如图,桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构,根据的数学道理是 .
17.如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1,B1,C1得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2;按此规律继续下去,可得到△A2021B2021C2021,则其面积S2021= .
答案
1.A
2.D 可以作为△ACD的高的有AD,CD,共2条;
可以作为△BCD的高的有BD,CD,共2条;
可以作为△ABC的高的有BC,AC,CD,共3条.
综上所述,可以作为三角形“高”的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条.故选D.
3.D
4.C ③⑤正确.
5.C 由题意可得AD是△ABC的角平分线,BG是△ABD的边AD上的中线,CH为△ACD的边AD上的高,AH为△ACF的角平分线.
6.B
7.△BCG
8.C ∵AD为△ACE的中线,
∴CD=DE=2.∴CE=4.
∵AD=5,∴△ACE的面积=×4×5=10.
∵AC是△ABE的中线,
∴BC=CE.∴S△ABC=S△ACE=10.
∴S△ABD=S△ABC+S△ACD=10+×2×5=15.
故选C.
9.68 ∵∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD=36°.
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD=36°.
∵∠BDC=76°,
∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC=68°.
10.2 如图图,∵BD=3,CD=1,
∴BC=BD-CD=2.
又∵AD是BC边上的高,AD=2,
∴△ABC的面积=BC·AD=×2×2=2.
11.6 cm 设AB=x cm,BD=y cm.
∵AD是BC边上的中线,
∴BC=2BD=2y cm.
由题意,得解得
∴AB=6 cm.
12.解:∵AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的高,
∴S△ABC=BC·AD=AC·BE.
∴BE===(cm).
13.解:(1)如图图,过点E作EF⊥BC于点F,则EF为BD边上的高.
(2)∵AD为△ABC的中线,S△ABC=20,
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=10.
∵BE为△ABD的中线,
∴S△BED=S△ABE=S△ABD=5.∴BD·EF=5.
∵BD=2.5,∴EF=4.
∴△BDE的边BD上的高为4.
14.解:如图图,AB=AC,BD为腰AC上的中线.
设AD=DC=x cm,BC=y cm.分两种情况:
①解得
此时,等腰三角形的三边长分别为8 cm,8 cm,17 cm,显然不符合三角形的三边关系,舍去;
②解得此时,等腰三角形的三边长分别为14 cm,14 cm,5 cm,符合三角形的三边关系.
综上所述,这个等腰三角形的底边长是5 cm,腰长是14 cm.
15.证明:∵BE,CF均是△ABC的中线,
∴S△ABE=S△ACF=S△ABC.
∵AM⊥CF,AN⊥BE,
∴AM·CF=AN·BE.
又∵BE=CF,∴AM=AN.
16.三角形具有稳定性
17.192021 如图图,连接BC1.
∵C1A=2CA,
∴=2S△ABC,
同理:=2=4S△ABC,
∴=6S△ABC,同理:==6S△ABC,
∴=19S△ABC,即S1=19S△ABC.
同理:S2=19S1=192S△ABC,S3=193S△ABC.
∵S△ABC=1,∴S2021=192021S△ABC=192021.
故答案是192021.
11.1.3 三角形的稳定性
命题点 1 三角形的高、中线与角平分线
1.用三角尺作△ABC的边BC上的高,下列三角尺的摆放位置正确的是 ( )
2.如图,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,图中可以作为三角形“高”的线段有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.5条
3.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是 ( )
A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.AB=AC D.BD=CD
4.如图图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的有 ( )
①AD是△ABF的角平分线;②AF是△ABC的角平分线;③AE是△ADF的角平分线;④AF是△ADC的角平分线;⑤AE是△ABC的角平分线.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,且CF⊥AD于点H.下列判断正确的是 ( )
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的边AD上的中线
C.CH为△ACD的边AD上的高
D.AH为△ABC的角平分线
命题点 2 交点问题
6.有下列说法:①三角形的中线、角平分线、高都是线段;②三角形的三条高必交于一点;③三角形的三条角平分线必交于一点;④三角形的三条高必在三角形内.其中正确的是 ( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
7.我们知道,三角形的三条高所在直线交于一点.规定:三角形的三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.如图,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,AD,BE,CF交于点G.则点A是 的垂心.
命题点 3 与三角形的高、中线、角平分线相关的计算与证明问题
8.如图,AC,AD分别为△ABE的中线和高,AD为△ACE的中线,已知AD=5,DE=2,则△ABD的面积为 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
9.如图,在△ABC中,∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,∠BDC=76°,DE∥BC,则∠ADE= °.
10.在△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于 .
11.如图,△ABC的周长为24 cm,AC=8 cm,BC边上的中线AD=5 cm,△ABD的周长为16 cm,则AB= .
12.如图,在△ABC中,BC,AC边上的高分别是AD,BE.若BC=5 cm,AD=6 cm,AC=7 cm,求BE的长.
13.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)作△BED的边BD上的高;
(2)若△ABC的面积为20,BD=2.5,求△BDE的边BD上的高.
14.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12 cm和21 cm的两部分,求这个等腰三角形的底边和腰的长度.
15.如图,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN.
命题点 4 三角形的稳定性
16.如图,桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构,根据的数学道理是 .
17.如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1,B1,C1得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2;按此规律继续下去,可得到△A2021B2021C2021,则其面积S2021= .
答案
1.A
2.D 可以作为△ACD的高的有AD,CD,共2条;
可以作为△BCD的高的有BD,CD,共2条;
可以作为△ABC的高的有BC,AC,CD,共3条.
综上所述,可以作为三角形“高”的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条.故选D.
3.D
4.C ③⑤正确.
5.C 由题意可得AD是△ABC的角平分线,BG是△ABD的边AD上的中线,CH为△ACD的边AD上的高,AH为△ACF的角平分线.
6.B
7.△BCG
8.C ∵AD为△ACE的中线,
∴CD=DE=2.∴CE=4.
∵AD=5,∴△ACE的面积=×4×5=10.
∵AC是△ABE的中线,
∴BC=CE.∴S△ABC=S△ACE=10.
∴S△ABD=S△ABC+S△ACD=10+×2×5=15.
故选C.
9.68 ∵∠ABC=72°,BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD=36°.
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD=36°.
∵∠BDC=76°,
∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC=68°.
10.2 如图图,∵BD=3,CD=1,
∴BC=BD-CD=2.
又∵AD是BC边上的高,AD=2,
∴△ABC的面积=BC·AD=×2×2=2.
11.6 cm 设AB=x cm,BD=y cm.
∵AD是BC边上的中线,
∴BC=2BD=2y cm.
由题意,得解得
∴AB=6 cm.
12.解:∵AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的高,
∴S△ABC=BC·AD=AC·BE.
∴BE===(cm).
13.解:(1)如图图,过点E作EF⊥BC于点F,则EF为BD边上的高.
(2)∵AD为△ABC的中线,S△ABC=20,
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=10.
∵BE为△ABD的中线,
∴S△BED=S△ABE=S△ABD=5.∴BD·EF=5.
∵BD=2.5,∴EF=4.
∴△BDE的边BD上的高为4.
14.解:如图图,AB=AC,BD为腰AC上的中线.
设AD=DC=x cm,BC=y cm.分两种情况:
①解得
此时,等腰三角形的三边长分别为8 cm,8 cm,17 cm,显然不符合三角形的三边关系,舍去;
②解得此时,等腰三角形的三边长分别为14 cm,14 cm,5 cm,符合三角形的三边关系.
综上所述,这个等腰三角形的底边长是5 cm,腰长是14 cm.
15.证明:∵BE,CF均是△ABC的中线,
∴S△ABE=S△ACF=S△ABC.
∵AM⊥CF,AN⊥BE,
∴AM·CF=AN·BE.
又∵BE=CF,∴AM=AN.
16.三角形具有稳定性
17.192021 如图图,连接BC1.
∵C1A=2CA,
∴=2S△ABC,
同理:=2=4S△ABC,
∴=6S△ABC,同理:==6S△ABC,
∴=19S△ABC,即S1=19S△ABC.
同理:S2=19S1=192S△ABC,S3=193S△ABC.
∵S△ABC=1,∴S2021=192021S△ABC=192021.
故答案是192021.