沪科版数学八年级上册同步提优训练：15.3等腰三角形的判定（第2课时）（word版 含答案）

第2课时　等腰三角形的判定
考向题组训练
　　　　　　　　
命题点 1　等腰三角形的判定
1.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O且平行于BC的直线交AB于点M,交AC于点N,连接AO,则图中等腰三角形的个数为
(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图,∠BOC=60°,A是BO延长线上的一点,OA=10 cm,动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动.如图果点P,Q同时出发,用t s表示移动的时间,当t=　　　　时,△POQ是等腰三角形.
4.如图,从①∠B=∠C,②∠BAD=∠CDA,③AB=DC,④BE=CE四个等式中选出两个作为条件,证明△AED是等腰三角形.(写出一种即可)
命题点 2　等腰三角形的性质和判定的综合应用
5.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,BE⊥CD,交CD于点D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5 cm,BC=3 cm,则BD的长为 (　　)
A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.4 cm
6.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是　　　　.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于点P.求证:DP=EP.
命题点 3　等边三角形的判定
8.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有 (　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
9.如图,在等边三角形ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E,则△ADE是　　　　三角形.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
命题点 4　等边三角形性质与判定的综合应用
11.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD,连接BD,AB,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是
(　　)
A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行或相交
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,F分别为AB,AC的中点,且DE⊥AB,FG⊥AC,点E,G在BC上,BC=18 cm,则线段EG的长为　　　　cm.
13.(2021绍兴)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.
14.如图,已知△ABC和△CDE均为等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上,连接AD交CE于点G,连接BE交AC于点H,连接GH.
(1)求证:AD=BE;
(2)求证:△ACG≌△BCH;
(3)猜想△CGH是什么特殊三角形,并加以证明.
思维拓展培优
　　　　　　　　
15.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有M,N两点分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒后,M,N两点重合
(2)点M,N运动几秒后,可得到等边三角形AMN
(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN 若能,请求出此时点M,N运动的时间.
答案
第2课时　等腰三角形的判定
1.D　 图中等腰三角形有△ABC,△ABE,△CDE,△BEC,△BDC,共5个.故选D.
2.C　 ∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形.又∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,∴∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠OCA=30°,∴△OBC是等腰三角形.∵MN∥BC,∴∠BOM=∠OBC=30°,∠NOC=∠BCO=30°,∠AMN=∠ABC=∠ANM=∠ACB=60°,∴△BOM,△CON,△AMN是等腰三角形.在△AOB和△AOC中,AB=AC,OA=OA,OB=OC,∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠OAM=∠OAN=30°,∴△AOB,△AOC是等腰三角形.综上,等腰三角形有△OBC,△BOM,△CON,△AOB,△AOC,△AMN,△ABC,共7个.故选C.
3.或10　 当点P在点O左侧时,如图图①所示,∵PO=AO-AP=10-2t,OQ=t,当PO=OQ时,△POQ是等腰三角形,∴10-2t=t,解得t=;当点P在点O右侧时,如图图②所示,∵PO=AP-AO=2t-10,OQ=t,当PO=OQ时,△POQ是等腰三角形,∴2t-10=t,解得t=10.
4.解:答案不唯一,如图选择的条件是①∠B=∠C,
②∠BAD=∠CDA.
证明:在△BAD和△CDA中,
∵
∴△BAD≌△CDA(AAS),∴∠ADB=∠DAC,
即在△AED中,∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE,∴△AED为等腰三角形.
5.A　 在△BDC和△EDC中,
∵
∴△BDC≌△EDC,
∴BC=CE=3 cm,BD=DE=BE.
∵AC=5 cm,∴AE=AC-CE=2 cm.
∵∠A=∠ABE,∴AE=BE=2 cm,
∴BD=1 cm.故选A.
6.3　 ∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=36°+36°=72°,
∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC,∴图中等腰三角形的个数是3.
7.证明:如图图,过点D作DF∥AC交BC于点F,
∴∠FDP=∠AED,∠DFB=∠ACB.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠DFB,∴BD=DF.
又∵BD=CE,
∴DF=CE.
又∵∠DPF=∠EPC,
∴△DFP≌△ECP,(AAS)
∴DP=EP.
8.D　 如图图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°.∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN.在△PEM和△PON中,∵
∴△PEM≌△PON,∴PM=PN.∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选D.
9.等边　 过点D作AC的平行线交AB于点P,∴△BDP为等边三角形,∴BD=BP,∠BPD=60°,∴AP=CD,∠APD=120°.∵∠BPD为△ADP的外角,∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°,而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°,∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°,∴∠DAP=∠EDC.∵CE为∠ACB的外角平分线,∴∠ACE=60°,∴∠DCE=60°+60°=120°.在△ADP和△DEC中,∵
∴△ADP≌△DEC(ASA),∴AD=DE.
又∵∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.
10.证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为AC的中点,
∴DA=DC.
又∵DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C,
则∠A=∠B=∠C=60°,
∴△ABC是等边三角形.
11.A　 由已知得△AOB为等边三角形,所以∠O=∠OAB=60°.
易证△AOC≌△ABD,得∠ABD=60°,
所以∠OAB=∠ABD,所以BD∥OA.
故选A.
12.6　 ∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°.
如图图,连接AE,AG.
∵D为AB的中点,ED⊥AB,
∴EB=EA,
∴△ABE为等腰三角形.
∴∠B=∠EAB=30°,
∴∠AEG=60°.
同理可证AG=GC,
∠AGE=60°,
∴△AEG为等边三角形,
∴AE=EG=AG.
又∵AE=BE,AG=GC,
∴BE=EG=GC.
又∵BE+EG+GC=BC=18 cm,
∴EG=6 cm.
故答案为6.
13.解:(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=×(180°-80°)=50°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.
又∵CE=BC,∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.
理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,
则∠BEC=∠A+∠ABE=40°+∠ABE=α.
又∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=40°+∠ABE,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE.
在△BDC中,∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
则α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.
14.解:(1)证明:∵△ABC和△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
则∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
(2)证明:∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAG=∠CBH.
∵∠ACB=∠ECD=60°,点B,C,D在同一条直线上,
∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60°.
又∵AC=BC,
∴△ACG≌△BCH.
(3)△CGH是等边三角形.证明如图下:
∵△ACG≌△BCH,∴CG=CH.
又∵∠ACG=60°,
∴△CGH是等边三角形.
15.解:(1)设点M,N运动x s后,M,N两点重合.
则x+12=2x,解得x=12.
即点M,N运动12 s后,M,N两点重合.
(2)设点M,N运动t s后,可得到等边三角形AMN,如图图①,
则AM=t cm,AN=AB-BN=(12-2t)cm.
∵△AMN是等边三角形.
又易得∠MAN=60°,
∴t=12-2t,解得t=4.
∴点M,N运动4 s后,可得到等边三角形AMN.
(3)当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形.
由(1)知12 s时M,N两点重合,恰好在C处.
如图图②,假设△AMN是等腰三角形,
则AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB.
∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形.
∴∠C=∠B.
在△ACM和△ABN中,∵
∴△ACM≌△ABN,
∴CM=BN.
设当点M,N在BC边上运动,M,N运动的时间为y s时,△AMN是等腰三角形.
则CM=(y-12)cm,NB=(36-2y)cm.
由CM=NB,得y-12=36-2y,解得y=16.
故假设成立,
∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时点M,N运动的时间为16 s.