沪科版数学八年级上册同步提优训练：15.4角的平分线的画法（第1课时）（word版 含答案）

第1课时　角的平分线的画法
考向题组训练
　　　　　　　　
命题点 1　角的平分线的尺规作图
1.如图,小明作∠AOB的平分线,作法如图下:
①以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D;
②分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点E;
③作射线OE,则射线OE就是∠AOB的平分线.
小明上面的作法用到了三角形全等,则证明三角形全等的依据是 (　　)
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2.甲、乙两人对角的平分线的作法给出了下列两种不同的方法:
甲:(1)对于∠AOB,以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E;
(2)分别以点D,E为圆心,大于DE长为半径,在∠AOB内部画弧,两弧相交于点C;
(3)作射线OC,则OC为∠AOB的平分线.
乙:(1)对于∠MON,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,B;
(2)以点O为圆心,不等于(1)中的半径长为半径画弧,分别交OM,ON于点C,D;
(3)连接AD,BC相交于点E;
(4)作射线OE,则OE为∠MON的平分线.
下列判断正确的是 (　　)
A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对
C.甲、乙都不对 D.甲、乙都对
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)尺规作图:作∠B的平分线BD交AC于点D;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若CD=2,求AC的长.
命题点 2　过一点作已知直线的垂线
4.如图所示的作图痕迹作的是 (　　)
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
5.下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是 (　　)
6.如图,在一张透明的纸上画一条直线l,在l外任取一点Q,并折出过点Q且与l垂直的直线,这样的直线能折出 (　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
7.如图,已知线段a和b,用尺规作Rt△ABC,使直角边AC=b,BC=a,并作出斜边上的高CD(保留作图痕迹,不要求写出画法).
思维拓展培优
　　　　　　　　
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹(不要求写画法):
(1)作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
(2)过点D作AC的垂线,垂足为E.
9.阅读材料,解答问题:
数学课上,同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法.
小惠说:如图,我用相同的两块含30°角的三角尺可以画角的平分线.画法如图下:
①在∠AOB的两边分别取点M,N,使OM=ON;
②把三角尺按图(a)所示的位置放置,两斜边交于点P.
射线OP就是∠AOB的平分线.
小旭说:我只用刻度尺就可以画角平分线.
请你也参与探讨,解决以下问题:
(1)小惠的作法正确吗 若正确,请给出证明;若不正确,请说明理由.
(2)请你按照小旭的作图工具画出图(b)中∠QRS的平分线,并简述画图的过程.
答案
第1课时　角的平分线的画法
1.D
2.D　 甲的作法如图图①.根据题意,知OD=OE,DC=EC.
在△ODC和△OEC中,
∵
∴△ODC≌△OEC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,即OC为∠AOB的平分线.
乙的作法如图图②.
根据题意,知OA=OB,OD=OC,∴AC=BD.
在△AOD和△BOC中,∵
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴∠OAD=∠OBC.
在△ACE和△BDE中,∵
∴△ACE≌△BDE(AAS),∴CE=DE.
在△OCE和△ODE中,∵
∴△OCE≌△ODE(SSS),
∴∠AOE=∠BOE,即OE为∠MON的平分线.
综上所述,甲、乙的作法都对.故选D.
3.解:(1)如图图,射线BD即为所求.
(2)∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°=∠A,
∴AD=BD=2CD=4,
∴AC=AD+CD=4+2=6.
4.B
5.B　 根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图,可知B正确.
6.B　 根据垂线的性质,这样的直线只有1条.故选B.
7.解:如图图所示.
8.解:(1)(2)画图如图下.
9.解:(1)小惠的作法正确.
证明如图下:
图(a)
如图图(a),过点O作OC⊥PM于点C,OD⊥PN于点D,
∴∠C=∠D=90°.
由题意得∠PMA=∠PNB=60°,
∴∠OMC=∠PMA=60°,∠OND=∠PNB=60°,
∴∠OMC=∠OND.
在△OMC和△OND中,
∵
∴△OMC≌△OND,∴OC=OD,∠COM=∠DON.
在Rt△OPC和Rt△OPD中,
∵
∴Rt△OPC≌Rt△OPD,
∴∠COP=∠DOP.
又∵∠COM=∠DON,
∴∠MOP=∠NOP,
即射线OP是∠AOB的平分线.
(2)画法不唯一.如图图(b)
①用刻度尺分别在角的两边截取RA=RB,连接AB;②用刻度尺取AB的中点C;③画射线RC,则射线RC就是∠QRS的平分线.
图(b)