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1．势能的概念
（1）定义：由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能．
（2）分类：重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．
2．重力势能
（1）定义：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．
（2）表达式：，其中是物体的重心到参考平面（即高度取为零，零势能面）的高度．在参考面以上，；在参考面以下，．
（3）特点：重力势能是状态量，是标量，可正可负．
单位：同功的单位相同，国际单位制中为焦耳，符号为．
（4）对重力势能的理解
①重力势能的相对性：
重力势能是相对的，为了确定物体的重力势能，预先规定一个水平面的高度为零，处于此平面的物体重力势能为零，此平面叫做参考平面，也叫做零势面．选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定，通常选择地面作为参考平面．参考平面不同，重力势能值不同，因而重力势能具有相对性．
②重力势能的变化量是绝对的，具有绝对性：
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量，虽然重力势能具有相对性，但重力势能的变化却是绝对的，与参考平面的选取无关．
③系统性：重力势能是地球与物体共同具有的，是由地球和地面上物体的相对位置决定的，即．没有地球，物体的重力势能就不存在．
（5）重力做功的特点
①由功能关系可知重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．只要起点和终点的位置相同，不论是沿着直线路径由起点到终点，或是沿着曲线路径由起点到终点，做功结果均相同．
②重力做功只与物体初、末位置的高度差有关，与路径无关．
③重力做功可以使物体的重力势能发生变化．
（6）重力势能的变化与重力做功的关系
重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少，重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少．即．
【例1】井深8m，井上支架高2m，在支架上用一根长3m的绳子系住一个重100N的物体，若以地面为参考平面，则物体的重力势能有_____________；若以井底面为参考平面，则物体的重力势能是____________．
【答案】－100J； 700J
【例2】一质量为1kg物体，位于离地面高1.5m处，比天花板低2.5m．以地面为零势能位置时，物体的重力势能等于________J；以天花板为零势能位置时，物体的重力势能等于_______J（g取10m/s2）．
【答案】6.15；－25
【例3】质量为5kg的钢球，从离地15m高处自由下落1s，其重力势能变为_____________（g取10m/s2，取地面为参考平面）．
【答案】500J
【例4】物体1的重力势能Ep1=3J，物体2的重力势能Ep2=－3J，则（ ）
A．Ep1=Ep2 B．Ep1＞Ep2 C．Ep1＜Ep2 D．无法判断
【答案】B
【例5】如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则（ ）
A．沿轨道1滑下重力做功多 B．沿轨道2滑下重力做功多
C．沿轨道3滑下重力做功多 D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多
【答案】D
【例6】如图所示，质量为m的小球从高为h的斜面的A点滚下经水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达h/3高度的D点时的速度为零，此过程中物体重力做的功是多少
【解析】重力做功只跟初末位置的高度差有关，与路径无关．．
【答案】2mgh/3
【例7】如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，假设桌面处的重力势能为0，则小球落到地面前瞬间的重力势能为（ ）
A．mgh B．mgH C．mg（h+H） D．-mgh
【答案】D
【例8】一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的（ ）
A．铁块的重力势能大于木块的重力势能
B．铁块的重力势能等于木块的重力势能
C．铁块的重力势能小于木块的重力势能
D．上述三种情况都有可能
【答案】C
【例9】在地面附近一个质量为5kg的物体，从零势面以上8m处下落到零势面以下2m处的过程中，重力势能的最大值是________J，重力做功是________J．（g=10m／s2）
【答案】400，500
【例10】甲、乙两物体，质量大小关系为m甲=5m乙，从很高的同一高度处自由下落2s，重力做功之比为_____，对地面而言的重力势能之比为_______．
【答案】7.5:1；5:1
【例11】以下关于重力势能的说法中，正确的是（ ）
A．地面上的物体的重力势能一定为零
B．质量大的物体重力势能一定大
C．高处物体的重力势能一定大
D．重力做正功时，物体的重力势能一定变化
【答案】D
【例12】将同一物体分两次举高，每次举高的高度相同，则（ ）
A．不论选取什么参考平面，两种情况中，物体重力势能的增加量相同
B．不论选取什么参考平面，两种情况中，物体最后的重力势能相等
C．不同的参考平面，两种情况中．重力做功不等
D．不同的参考平面，两种情况中．重力最后的重力势能肯定不等
【答案】A
【例13】关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从﹣5J变化到﹣3J，重力势能变小了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【答案】D
【例14】选择不同的水平面作参考平面，物体在某一位置的重力势能和某一过程中重力势能的改变量（ ）
A．都具有不同的数值
B．都具有相同的数值
C．前者具有相同数值，后者具有不同数值
D．前者具有不同数值，后者具有相同数值
【答案】D
【例15】关于重力势能的下列说法中正确的是（ ）
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．重力势能恒大于零
C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能实际上是物体和地球所共有的
【答案】D
【例16】关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）
A．重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功
B．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
C．在不同高度将某一物体抛出，落地时重力势能相等
D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响
研究有关重力势能的问题
【答案】CD
【例17】下列说法中正确的是（ ）
A．物体克服重力做功，物体的重力势能增加 B．物体克服重力做功，物体的重力势能减少
C．重力对物体做正功，物体的重力势能增加 D．重力对物体做负功，物体的重力势能减少
【答案】A
【例18】关于重力势能的说法中不正确的是（ ）
A．物体重力势能的值随参考平面的选择不同而不同
B．物体的重力势能严格说是属于物体和地球这个系统的
C．重力对物体做正功，物体的动能一定增加
D．物体位于参考面之下其重力势能取负值
【答案】C
【例19】物体在运动过程中，克服重力做功50J，则（ ）
A．物体的重力势能一定为50J B．物体的重力势能一定增加50J
C．物体的重力势能一定减少50J D．物体的重力势能可能不变
【答案】B
【例20】关于重力势能和重力做功的下列说法正确的是（ ）
A．物体克服重力做的功等于势能的增加
B．在同一高度，将物体以初速向不同的方向抛出，从抛出到落地过程中，重力做的功相等，物体减少的重力势能也相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力的功与物体所增加的重力势能之和
【答案】AB
【例21】跳伞运动员在刚跳离飞机且降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．空气阻力做正功 B．重力势能增加
C．动能增加 D．空气阻力做负功
【答案】CD
【例22】在抛体运动中，若不计空气阻力，下列叙述错误的是（ ）
A．物体克服重力所做的功等于该物体重力势能的增量
B．物体的动能随高度的增加而均匀减小
C．若抛出的两物体动能相等，则抛出时质量大的物体速率较小
D．空中运动的过程物体机械能守恒，但一定不等于零
【答案】D
【例23】下列叙述中，正确的是（ ）
A．做自由落体运动的物体，在第1s内与第2s内重力势能的减少量之比为1:3
B．做竖直上抛运动的物体，从抛出到返回到抛出点的过程中，重力对物体所做的功为零
C．物体做匀速直线运动时重力势能一定不变
D．在平衡力作用下运动的物体，重力势能一定改变
【答案】AB
【例24】一个质量为m的物体，在吊绳拉力的作用下，沿竖直方向由静止开始以加速度a匀速上升了ts，则在这一过程中，该物体增加的重力势能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【例25】用起重机将质量为m的物体匀速地吊起一段距离，那么作用在物体上各力的做功情况应该是下面的哪种说法（ ）
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
【答案】C
【例26】一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h，关于此过程下列说法中不正确的是（ ）
A．提升过程中手对物体做功m（a+g）h
B．提升过程中合外力对物体做功mah
C．提升过程中物体的动能增加m（a+g）h
D．提升过程中物体克服重力做功mgh
【答案】C
【例27】如图，长为L的细线拴一个质量为m的小球悬挂于O点，现将小球拉至与O点等高的位置且线恰被拉直．求放手后小球摆到O点正下方的过程中：
（1）球的重力做的功；
（2）线的拉力做的功；
（3）外力对小球做的总功．
【答案】（1）WG=mgL （2）WF=0 （3）W总=mgL
【例28】起重机以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少．
【解析】由题意可知起重机的加速度a=，物体上升高度h，
据牛顿第二定律得mg-F=ma所以F=mg-ma=mg-m×g=mg，方向竖直向上．
所以拉力做功 WF = Fhcos0°=mgh
重力做功 WG=mghcos180°=-mgh
即物体克服重力做功为mgh
又因为 WG =Ep1-Ep2=-mgh
WG<0，Ep1即物体的重力势能增加了mgh．
【答案】mgh mgh mgh
【例29】如图所示，一个质量为m的木块，以初速度v0冲上倾角为θ的固定斜面，沿斜面上升L的距离后又返回运动．若木块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：
（1）木块上升过程克服重力做功的平均功率；木块的重力势能变化了多少？
（2）木块从开始运动到返回到出发点的过程中，滑动摩擦力做的功是多少？
（3）木块从开始运动到返回到出发点的过程中，重力做的功是多少？重力势能变化了多少？
【答案】（1）mgv0sinθ/2、mglsinθ（2）2μmglcosα（3）0、0
【例30】水塔是在空中的盛水容器，有两个注水口，一个在顶部，一个在底部，注满一水塔水，则（ ）
A．从顶部注水做功多 B．从底部注水做功少
C．从两注水口注水一样多 D．条件不足不能比较从上下注水做功多少
【解析】设水塔高为H，盛水部分高度为h，所盛水质量为m．不考虑摩擦及水流动能则，从底部注水器注水做功等于全部水的重力势能，从顶部注水口注水则要把全部质量为m的水都提到高为处放入水塔水的最大重力势能为最后变为
∴从顶部口注水做功多，A正确．
【答案】A
【例31】如图所示，一个质量为m、半径为r、体积为V的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入截面积为S、深度为h的水中．已知水的密度为ρ，求铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，水与铁球的重力势能分别变化了多少？水与铁球组成的系统总的重力势能变化了多少？
【解析】铁球重力势能减少了mgh，
水的重力势能增加了ρgV2/S，
铁球与水总的重力势能减少了mgh-ρgs（Δh）2=mgh-ρgV2/S．
【答案】mgh-ρgV2/S
3．弹性势能
（1）定义：物体由于发生弹性形变，各部分之间存在着弹性力的相互作用而具有的势能叫做“弹性势能”．被压缩的气体、拉弯了的弓、卷紧了的发条、拉长或压缩了的弹簧都具有弹性势能．
（2）理解：
①弹性势能是状态量，标量，单位是焦耳．
②确定弹性势能的大小需选取零势能的状态，一般选取弹簧未发生任何形变而处于自由状态的情况下其弹性势能为零，被压缩或伸长的弹簧具有的弹性势能等于弹簧的劲度系数与弹簧长度改变量的平方乘积的一半，即．
③弹力对物体做功等于弹性势能增量的负值，即弹力所做的功只与弹簧在初状态和末状态的伸长量有关，而与弹簧形变过程无关．
④弹性势能是以弹力的存在为前提，所以弹性势能是在发生弹性形变时，各部分之间有弹性作用的物体所具有的．如果两物体相互作用都发生形变，那么每一物体都有弹性势能，总弹性势能为二者之和．
⑤动能、重力势能和弹性势能之间可以相互转化．
（3）弹簧弹性势能的计算
在拉伸弹簧的过程中，弹簧弹力是随弹簧的形变量的变化而变化的，弹簧弹力还因弹簧的不同而不同．因此，弹簧弹力做功不能直接用功的公式W=Flcosα．与研究匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的．所以，每一小段的功分别为：W1=F1△l1，W2=F2△l2，W3=F3△l3，……
弹簧弹力在整个过程中所做的功为：W=W1+W2+W3+……=F1△l1+F2△l2+F3△l3+……
要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的．与匀变速直线运动中利用v-t图象求位移x相似，我们可以画出F-l图象，如图1所示．每段弹簧弹力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由F和l围成的三角形的面积如图2所示，这块三角形面积就表示弹簧弹力在整个过程中所做的功．
弹簧弹力在整个过程中所做的功为：W=（其中，k是弹簧的劲度系数，Δl是弹簧的伸长量或压缩量）
弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．
【例32】关于弹性势能，以以下说法正确的是（ ）
A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
C．外力对弹性物体做功，物体的弹性势能就发生变化
D．弹簧的弹性势能只由弹簧的形变量决定
【答案】AC
【例33】关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是（ ）
A．弹力对物体所做的功等于物体所具有的弹性势能
B．物体克服弹力所做的功等于物体所具有的弹性势能
C．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能的减少
D．物体克服弹力所做的功等于物体弹性势能的增加
【答案】CD
【例34】关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．拉伸或压缩弹簧时，弹簧弹力方向不一样，所以弹性势能的方向不一样
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
E．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
【答案】AB
【例35】弹簧的一端固定，原处于自然长度．现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功（或拉力对弹簧做负功）与弹性势能变化的关系，以下说法中正确的是（ ）
A．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能增加
B．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能减少
C．拉力对弹簧做负功，弹簧的弹性势能增加
D．拉力对弹簧做负功，弹簧的弹性势能减少
【答案】AC
【例36】如图所示，一弹簧竖直固定在地面上，一小球自弹簧正上方自由下落，从小球落上弹簧到弹簧压缩到最低点的过程中，小球的重力势能将______，弹簧的弹性势能将______．
【答案】小球的重力势能将减小，弹簧的弹性势能将增大．
【例37】一竖直弹簧下端固定于水平地面上，如图所示，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（ ）
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
【答案】B
【例38】在光滑水平面上有两个小球，如图所示，假设它们之间存在着相互排斥的力，也具有一种势能，我们把它叫做x势能，当A小球不动，B小球在外力作用下向A靠近，试分析它们间的x势能将如何变化？
【答案】因为它们间的排斥力对B做负功，故其x势能将增加．
【例39】如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上．现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W，则物块移动了多大的距离？
【答案】
【例40】地面上竖直放置一根劲度系数为k，原长为L0的轻质弹簧，在其正上方有一质量为m的小球从h高处自由落到下端固定于地面的轻弹簧上，弹簧被压缩，求小球速度最大时重力势能是多少？（以地面为参考平面）
【解析】当mg=kx时，小球的速度最大，
所以x=mg/k．
此时小球离地面高度为：H=L0－x=L0－mg/k
重力势能Ep=mgH+mg（L0－mg/k）=mgL0－m2g2/k．
【答案】Ep=mgL0－m2g2/k
重力势能和弹性势能
知识框架
知识讲解
随堂练习
3
1
2
A
h
O
θ
v0
知识讲解
o
l
F
图1
o
l
F
图2
kΔl
随堂练习
B
A
F
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1．势能的概念
（1）定义：由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量叫做势能．
（2）分类：重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．
2．重力势能
（1）定义：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．
（2）表达式：，其中是物体的重心到参考平面（即高度取为零，零势能面）的高度．在参考面以上，；在参考面以下，．
（3）特点：重力势能是状态量，是标量，可正可负．
单位：同功的单位相同，国际单位制中为焦耳，符号为．
（4）对重力势能的理解
①重力势能的相对性：
重力势能是相对的，为了确定物体的重力势能，预先规定一个水平面的高度为零，处于此平面的物体重力势能为零，此平面叫做参考平面，也叫做零势面．选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定，通常选择地面作为参考平面．参考平面不同，重力势能值不同，因而重力势能具有相对性．
②重力势能的变化量是绝对的，具有绝对性：
我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量，虽然重力势能具有相对性，但重力势能的变化却是绝对的，与参考平面的选取无关．
③系统性：重力势能是地球与物体共同具有的，是由地球和地面上物体的相对位置决定的，即．没有地球，物体的重力势能就不存在．
（5）重力做功的特点
①由功能关系可知重力所做的功只跟初位置的高度和末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．只要起点和终点的位置相同，不论是沿着直线路径由起点到终点，或是沿着曲线路径由起点到终点，做功结果均相同．
②重力做功只与物体初、末位置的高度差有关，与路径无关．
③重力做功可以使物体的重力势能发生变化．
（6）重力势能的变化与重力做功的关系
重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少，重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少．即．
【例1】井深8m，井上支架高2m，在支架上用一根长3m的绳子系住一个重100N的物体，若以地面为参考平面，则物体的重力势能有_____________；若以井底面为参考平面，则物体的重力势能是____________．
【例2】一质量为1kg物体，位于离地面高1.5m处，比天花板低2.5m．以地面为零势能位置时，物体的重力势能等于________J；以天花板为零势能位置时，物体的重力势能等于_______J（g取10m/s2）．
【例3】质量为5kg的钢球，从离地15m高处自由下落1s，其重力势能变为_____________（g取10m/s2，取地面为参考平面）．
【例4】物体1的重力势能Ep1=3J，物体2的重力势能Ep2=－3J，则（ ）
A．Ep1=Ep2 B．Ep1＞Ep2 C．Ep1＜Ep2 D．无法判断
【例5】如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则（ ）
A．沿轨道1滑下重力做功多 B．沿轨道2滑下重力做功多
C．沿轨道3滑下重力做功多 D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多
【例6】如图所示，质量为m的小球从高为h的斜面的A点滚下经水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达h/3高度的D点时的速度为零，此过程中物体重力做的功是多少
【例7】如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，假设桌面处的重力势能为0，则小球落到地面前瞬间的重力势能为（ ）
A．mgh B．mgH C．mg（h+H） D．-mgh
【例8】一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的（ ）
A．铁块的重力势能大于木块的重力势能 B．铁块的重力势能等于木块的重力势能
C．铁块的重力势能小于木块的重力势能 D．上述三种情况都有可能
【例9】在地面附近一个质量为5kg的物体，从零势面以上8m处下落到零势面以下2m处的过程中，重力势能的最大值是________J，重力做功是________J．（g=10m／s2）
【例10】甲、乙两物体，质量大小关系为m甲=5m乙，从很高的同一高度处自由下落2s，重力做功之比为_____，对地面而言的重力势能之比为_______．
【例11】以下关于重力势能的说法中，正确的是（ ）
A．地面上的物体的重力势能一定为零 B．质量大的物体重力势能一定大
C．高处物体的重力势能一定大 D．重力做正功时，物体的重力势能一定变化
【例12】将同一物体分两次举高，每次举高的高度相同，则（ ）
A．不论选取什么参考平面，两种情况中，物体重力势能的增加量相同
B．不论选取什么参考平面，两种情况中，物体最后的重力势能相等
C．不同的参考平面，两种情况中．重力做功不等
D．不同的参考平面，两种情况中．重力最后的重力势能肯定不等
【例13】关于重力势能，下列说法中正确的是（ ）
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从﹣5J变化到﹣3J，重力势能变小了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【例14】选择不同的水平面作参考平面，物体在某一位置的重力势能和某一过程中重力势能的改变量（ ）
A．都具有不同的数值
B．都具有相同的数值
C．前者具有相同数值，后者具有不同数值
D．前者具有不同数值，后者具有相同数值
【例15】关于重力势能的下列说法中正确的是（ ）
A．重力势能的大小只由重物本身决定
B．重力势能恒大于零
C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能实际上是物体和地球所共有的
【例16】关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）
A．重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功
B．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
C．在不同高度将某一物体抛出，落地时重力势能相等
D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响研究有关重力势能的问题
【例17】下列说法中正确的是（ ）
A．物体克服重力做功，物体的重力势能增加 B．物体克服重力做功，物体的重力势能减少
C．重力对物体做正功，物体的重力势能增加 D．重力对物体做负功，物体的重力势能减少
【例18】关于重力势能的说法中不正确的是（ ）
A．物体重力势能的值随参考平面的选择不同而不同
B．物体的重力势能严格说是属于物体和地球这个系统的
C．重力对物体做正功，物体的动能一定增加
D．物体位于参考面之下其重力势能取负值
【例19】物体在运动过程中，克服重力做功50J，则（ ）
A．物体的重力势能一定为50J B．物体的重力势能一定增加50J
C．物体的重力势能一定减少50J D．物体的重力势能可能不变
【例20】关于重力势能和重力做功的下列说法正确的是（ ）
A．物体克服重力做的功等于势能的增加
B．在同一高度，将物体以初速向不同的方向抛出，从抛出到落地过程中，重力做的功相等，物体减少的重力势能也相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力的功与物体所增加的重力势能之和
【例21】跳伞运动员在刚跳离飞机且降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．空气阻力做正功 B．重力势能增加
C．动能增加 D．空气阻力做负功
【例22】在抛体运动中，若不计空气阻力，下列叙述错误的是（ ）
A．物体克服重力所做的功等于该物体重力势能的增量
B．物体的动能随高度的增加而均匀减小
C．若抛出的两物体动能相等，则抛出时质量大的物体速率较小
D．空中运动的过程物体机械能守恒，但一定不等于零
【例23】下列叙述中，正确的是（ ）
A．做自由落体运动的物体，在第1s内与第2s内重力势能的减少量之比为1:3
B．做竖直上抛运动的物体，从抛出到返回到抛出点的过程中，重力对物体所做的功为零
C．物体做匀速直线运动时重力势能一定不变
D．在平衡力作用下运动的物体，重力势能一定改变
【例24】一个质量为m的物体，在吊绳拉力的作用下，沿竖直方向由静止开始以加速度a匀速上升了ts，则在这一过程中，该物体增加的重力势能为（ ）
A． B． C． D．
【例25】用起重机将质量为m的物体匀速地吊起一段距离，那么作用在物体上各力的做功情况应该是下面的哪种说法（ ）
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
【例26】一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h，关于此过程下列说法中不正确的是（ ）
A．提升过程中手对物体做功m（a+g）h
B．提升过程中合外力对物体做功mah
C．提升过程中物体的动能增加m（a+g）h
D．提升过程中物体克服重力做功mgh
【例27】如图，长为L的细线拴一个质量为m的小球悬挂于O点，现将小球拉至与O点等高的位置且线恰被拉直．求放手后小球摆到O点正下方的过程中：
（1）球的重力做的功；
（2）线的拉力做的功；
（3）外力对小球做的总功．
【例28】起重机以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少．
【例29】如图所示，一个质量为m的木块，以初速度v0冲上倾角为θ的固定斜面，沿斜面上升L的距离后又返回运动．若木块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：
（1）木块上升过程克服重力做功的平均功率；木块的重力势能变化了多少？
（2）木块从开始运动到返回到出发点的过程中，滑动摩擦力做的功是多少？
（3）木块从开始运动到返回到出发点的过程中，重力做的功是多少？重力势能变化了多少？
【例30】水塔是在空中的盛水容器，有两个注水口，一个在顶部，一个在底部，注满一水塔水，则（ ）
A．从顶部注水做功多 B．从底部注水做功少
C．从两注水口注水一样多 D．条件不足不能比较从上下注水做功多少
【例31】如图所示，一个质量为m、半径为r、体积为V的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入截面积为S、深度为h的水中．已知水的密度为ρ，求铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，水与铁球的重力势能分别变化了多少？水与铁球组成的系统总的重力势能变化了多少？
3．弹性势能
（1）定义：物体由于发生弹性形变，各部分之间存在着弹性力的相互作用而具有的势能叫做“弹性势能”．被压缩的气体、拉弯了的弓、卷紧了的发条、拉长或压缩了的弹簧都具有弹性势能．
（2）理解：
①弹性势能是状态量，标量，单位是焦耳．
②确定弹性势能的大小需选取零势能的状态，一般选取弹簧未发生任何形变而处于自由状态的情况下其弹性势能为零，被压缩或伸长的弹簧具有的弹性势能等于弹簧的劲度系数与弹簧长度改变量的平方乘积的一半，即．
③弹力对物体做功等于弹性势能增量的负值，即弹力所做的功只与弹簧在初状态和末状态的伸长量有关，而与弹簧形变过程无关．
④弹性势能是以弹力的存在为前提，所以弹性势能是在发生弹性形变时，各部分之间有弹性作用的物体所具有的．如果两物体相互作用都发生形变，那么每一物体都有弹性势能，总弹性势能为二者之和．
⑤动能、重力势能和弹性势能之间可以相互转化．
（3）弹簧弹性势能的计算
在拉伸弹簧的过程中，弹簧弹力是随弹簧的形变量的变化而变化的，弹簧弹力还因弹簧的不同而不同．因此，弹簧弹力做功不能直接用功的公式W=Flcosα．与研究匀变速直线运动的位移方法类似，就是将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似认为拉力是不变的．所以，每一小段的功分别为：W1=F1△l1，W2=F2△l2，W3=F3△l3，……
弹簧弹力在整个过程中所做的功为：W=W1+W2+W3+……=F1△l1+F2△l2+F3△l3+……
要直接计算上述各小段功的求和式是较困难的．与匀变速直线运动中利用v-t图象求位移x相似，我们可以画出F-l图象，如图1所示．每段弹簧弹力的功就可用图中细窄的矩形面积表示，对这些矩形面积求和，就得到了由F和l围成的三角形的面积如图2所示，这块三角形面积就表示弹簧弹力在整个过程中所做的功．
弹簧弹力在整个过程中所做的功为：W=（其中，k是弹簧的劲度系数，Δl是弹簧的伸长量或压缩量）
弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加．
【例32】关于弹性势能，以以下说法正确的是（ ）
A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
C．外力对弹性物体做功，物体的弹性势能就发生变化
D．弹簧的弹性势能只由弹簧的形变量决定
【例33】关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是（ ）
A．弹力对物体所做的功等于物体所具有的弹性势能
B．物体克服弹力所做的功等于物体所具有的弹性势能
C．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能的减少
D．物体克服弹力所做的功等于物体弹性势能的增加
【例34】关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．拉伸或压缩弹簧时，弹簧弹力方向不一样，所以弹性势能的方向不一样
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
E．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
【例35】弹簧的一端固定，原处于自然长度．现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功（或拉力对弹簧做负功）与弹性势能变化的关系，以下说法中正确的是（ ）
A．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能增加
B．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能减少
C．拉力对弹簧做负功，弹簧的弹性势能增加
D．拉力对弹簧做负功，弹簧的弹性势能减少
【例36】如图所示，一弹簧竖直固定在地面上，一小球自弹簧正上方自由下落，从小球落上弹簧到弹簧压缩到最低点的过程中，小球的重力势能将______，弹簧的弹性势能将______．
【例37】一竖直弹簧下端固定于水平地面上，如图所示，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（ ）
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
【例38】在光滑水平面上有两个小球，如图所示，假设它们之间存在着相互排斥的力，也具有一种势能，我们把它叫做x势能，当A小球不动，B小球在外力作用下向A靠近，试分析它们间的x势能将如何变化？
【例39】如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水平面上．现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W，则物块移动了多大的距离？
【例40】地面上竖直放置一根劲度系数为k，原长为L0的轻质弹簧，在其正上方有一质量为m的小球从h高处自由落到下端固定于地面的轻弹簧上，弹簧被压缩，求小球速度最大时重力势能是多少？（以地面为参考平面）
重力势能和弹性势能
知识框架
知识讲解
随堂练习
3
1
2
A
h
O
θ
v0
知识讲解
o
l
F
图1
o
l
F
图2
kΔl
随堂练习
B
A
F
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