必修 第一册 苏教版（新教材新标准）2.2.2 充要条件(共44张PPT)

(共44张PPT)
2.2.2 充要条件
1.理解充要条件的意义.
2.理解性质定理、判定定理与充要条件的关系.
课标要求
素养要求
利用充要条件的判断，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
充要条件
(1)如果p q，且q p，那么称p是q的____________条件，简称为p是q的______条件，也称____的充要条件是____.
(2)如果p q，q s，则p____s.
如果p q，q s，则p____s.
充分且必要
充要
q
p


1.思考辨析，判断正误
(1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )
(2)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件.( )
√
×
(3)若p是q的充要条件，则p与q是两个相互等价的条件.( )
(4)若p是q的充要条件，则p是唯一的.( )
提示　{x|x≥1}＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，可以有不同表示.
√
×
C
2.设p：x＜5，q：－1＜x＜5，则p是q成立的(　　)
A.充分条件，但不是必要条件
B.充要条件
C.必要条件，但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A.充要条件 B.充分条件
C.必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，则x＝1.故选A.
A
4.已知p：4－x≤6，q：x≥a－1.若p是q的充要条件，则实数a＝________.
解析　∵p：4－x≤6，即x≥－2，q：x≥a－1，
故由题意知a－1＝－2，∴a＝－1.
－1
课堂互动
题型剖析
2
题型一　充要条件的判断
【例1】　指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：|x|>1，q：x2>1；
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(2)∵p q，q p，
∴p是q的充要条件.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴|ab|＝ab不能推出ab＞0，
∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
思维升华
判断p是q的什么条件，关键是判断p q及q p这两个命题是否成立.
【训练1】　判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要条件.
题型二　充分条件、必要条件的探求
B
(2)设a∈R，则a＞4的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A.a＞1 B.a＜1
C.a＞5 D.a＜5
A
探求充分条件、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p.
思维升华
【训练2】　(1)0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A.0＜x＜2 B.x≥－1
C.0＜x＜1 D.1＜x＜3
(2)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
解析　(1)令0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件对应集合M，则(0，2)?M，故B符合.
B
m＝－2
题型三　充要条件的证明
【例3】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明　先证必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
设关于a的二次函数y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
思维升华
【训练3】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型四　充要条件的应用
【例4】　已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以[1－m，1＋m]?[－2，10]，
又1－m<1＋m，所以m>0，
所以实数m的取值范围为(0，3].
【迁移1】　(变换条件)若本例中“p是q的必要条件但不是充分条件”改为“p是q的充分条件，但不是必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　因为p是q的充分条件，但不是必要条件，
所以[－2，10]?[1－m，1＋m].
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).
【迁移2】　(变换条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　若p是q的充要条件，则[－2，10]＝[1－m，1＋m]，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)的一般步骤.
(1)根据条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
思维升华
【训练4】　已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0.若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围.
即m≥8，故m的取值范围为[8，＋∞).
1.理解1个概念——充要条件
2.掌握3种方法——充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.
3.规避2个易错点
(1)充分条件、必要条件不唯一；
(2)求参数范围时，要注意能否取到端点值.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A
一、选择题
1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件
D.无法判断
解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
故选A.
2.已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，则p是q的(　　)
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要
解析　p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2.
∵(－1，2)?(－2，2)，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
B
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A.必要条件但不是充分条件
B.充分条件但不是必要条件
C.充要条件
D.无法判断
解析　“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”.
A
C
解析　选项中只有x∈{－1，3，5}
AB
5.(多选题)－1＜x＜3的一个必要条件但不是充分条件可以是(　　)
A.－2C.0解析　由于－1－1二、填空题
6.设x∈R，则0解析　由|x－1|<1，解得0因为(0，2)?(0，5)，
故0＜x＜5是|x－1|＜1的必要条件但不是充分条件，
|x－1|＜1是0＜x＜5的充分条件但不是必要条件.
必要条件但不是充分
充分条件但不是必要
(3，＋∞)
7.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m解析　由p q，∴A B，
8.关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有实数根的和为2的充要条件是________.
解析　当m2＝0，即m＝0时，此时方程为x＝2，适合；
当m2≠0，即m≠0时，
m＝0
解之m∈ .综上：m＝0.
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
故p是q的必要条件但不是充分条件.
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
故p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件.
10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
C
11.“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上”的一个必要条件但不是充分条件的是(　　)
12.设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].则A (A∩B)的充要条件为________.
解析　由题意A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
a≤9
解得6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9.
13.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明　充分性：∵ac<0，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，
且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，
∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
14.求方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
本节内容结束