必修 第一册 苏教版（新教材新标准）2.3.1 全称量词命题与存在量词命题(共40张PPT)

(共40张PPT)
2.3　全称量词命题与存在量词命题
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
1.理解全称量词与存在量词的意义.
2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.
课标要求
素养要求
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.全称量词和全称量词命题
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示______的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意x”.
(2)含有______量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：____________________.
全体
全称
x∈M，p(x)
2.存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有的”“有一个”等表示____________的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“ x”表示“________”.
(2)含有存在量词的命题称为______________，它的一般形式可表示为：____________________.
部分或个体
存在x
存在量词命题
x∈M，p(x)
点睛
全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“ x∈N，x≥0”.
1.思考辨析，判断正误
(1)存在量词命题“ x∈R，x2＜0”是真命题.( )
提示　任一实数的平方是非负数.
(2)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.( )
(3)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命题.( )
(4)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )
×
√
√
×
C
2.下列命题中全称量词命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是(n－2)×180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①③是全称量词命题.
3.下列存在量词命题是假命题的是(　　)
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的实数为正数
B
4.给出下列四个命题：
①有理数是实数；②矩形都不是梯形；
③ x，y∈R，x2＋y2≤1；
④凡是三角形都有内切圆.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析　在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①可改写为：所有的有理数都是实数；②可改写为：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题.
①②④
课堂互动
题型剖析
2
题型一　全称量词与存在量词命题的识别
【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.
解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
思维升华
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解　(1)全称量词命题.表示为 n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.表示为 一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.表示为 二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二　命题真假的判断
【例2】　判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意四边形的内角和为360°；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解　(1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
思维升华
判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】　判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2) x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3) x∈R，x2>0.
解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
题型三　由命题的真假求参数范围
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
解　由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以实数m的取值范围为[2，3].
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
解　q为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，4].
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
思维升华
【训练3】　(1)已知命题“ x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围；
解　(1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.
∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，
1.理解2个概念
(1)全称量词命题.
(2)存在量词命题.
2.掌握3种方法
(1)判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
(2)要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
(3)要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
一、选择题
1.下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题，故有一个存在量词命题.
2.已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.(4，＋∞) C.(－∞，0) D.[4，＋∞)
解析　∵p是假命题，
∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，
即Δ＝16－4a<0，即a>4.
B
3.下列命题不是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，使得x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
解析　“任选一个”“任意一个”是全称量词.
C
A
4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)
A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D.存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
解析　B，D有存在量词“存在”，
C中，x，y的范围与原命题不符.
ACD
5.(多选题)下列命题中的真命题是(　　 )
解析　A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；
B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；
D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确.
二、填空题
6.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为__________________________.
解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
7.若命题“ x∈R，使x2＋2x－3m＝0”为真命题，则实数m的取值范围为
________________.
解析　由方程有实根，即Δ＝4＋12m≥0，
1
8.下列全称量词命题中真命题的个数为________.
① x∈R，x2＋2>0；
② x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
解析　①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“ x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
三、解答题
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？
(1)矩形有一个外接圆.
(2)非负实数有两个平方根.
(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.
解　(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题.
(2)原命题可改写为“任意的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题.
(3)原命题可改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”，是存在量词命题.
10.用量词符号“ ”“ ”表示下列命题，并判断其真假.
(1)实数都能写成分数形式；
解　(1) x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1，2，3}.
解　(3) x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.
由平行四边形的性质可知此命题是真命题.
(4) A∈{A|A是集合}，A?{1，2，3}.
例如存在A＝{3}，使A?{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
5
11.已知命题p： x≥3，使2x－1解析　命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.
ABD
12.(多选题)已知a＞0，函数y＝ax2＋bx＋c，实数m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是(　　 )
A. x∈R，ax2＋bx＋c≤M B. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C. x∈R，ax2＋bx＋c≤M D. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
13.若 x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
14.已知命题p：存在实数x∈R，使得ax2＋2x－1＝0成立.若命题p为真命题，求实数a的取值范围.
解　当a＝0时，方程2x－1＝0显然有解，符合题意；
当a≠0时，由题意可知Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1且a≠0.
综上a的取值范围为[－1，＋∞).
本节内容结束