必修 第一册 苏教版（新教材新标准）2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(共38张PPT)

(共38张PPT)
2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
课标要求
素养要求
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.命题的否定
綈p(x)是对语句p(x)的______，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“__________”或“此假彼真”.
否定
一真一假
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“ x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题__________________________.
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“ x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题__________________________.
“ x∈M，綈p(x)”
“ x∈M，綈p(x)”
点睛
对省略量词的命题怎样否定？
对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题还是存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
1.思考辨析，判断正误
(1)命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.( )
提示　是存在量词命题.
(2)若命题p的否定是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.( )
(3)命题p： x＞2，x－2＞0，则p的否定是 x＞2，x－2≤0.( )
(4)命题 x∈N，x2＞0的否定是真命题.( )
提示　其否定为 x∈N，x2≤0，显然是假命题.
×
√
√
×
C
2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
A
4.命题： x∈R，x2－x＋1＝0的否定是__________________________.
解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以 x∈R，x2－x＋1＝0的否定是： x∈R，x2－x＋1≠0.
x∈R，x2－x＋1≠0
课堂互动
题型剖析
2
题型一　全称量词命题的否定
【例1】　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数.
解　(1)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(4)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：某个负数的平方不是正数.
思维升华
全称量词命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”.
【训练1】　写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二　存在量词命题的否定
【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
解　(1)命题的否定： x∈R，x2＋2x＋3>0.
∵ x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命题的否定为真命题.
(2)命题的否定： x∈R，x3＋1≠0.
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题.
∴命题的否定为假命题.
思维升华
存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论，即p： x∈M，p(x)成立 p的否定： x∈M，綈p(x)成立.命题的否定的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【训练2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形.
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
题型三　由命题真假求参数的值(取值范围)
【例3】　已知p： x∈[－1，2]，x2－m≥0.若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.
解　∵p的否定为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立.
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0，
即实数m的取值范围是(－∞，0].
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a思维升华
【训练3】　已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为p的否定为假命题，
所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，
m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，
即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，
故实数m的取值范围为{m|m>4}.
(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
1.理解2个概念
全称量词命题、存在量词命题的否定.
2.注意4个问题
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
3.注意2个易错点
对含有一个量词的命题，否定时，不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论否定。
课堂小结
分层训练
素养提升
3
C
一、选择题
1.关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.p的否定为： x∈R，x2＋1≠0
B.p的否定为： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
解析　命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.
p是真命题，p的否定是假命题.
2.设命题p： x∈Z，(x＋1)2－1>0，则p的否定为(　　)
A. x∈Z，(x＋1)2－1>0 B. x∈Z，(x＋1)2－1>0
C. x Z，(x＋1)2－1≤0 D. x∈Z，(x＋1)2－1≤0
解析　存在量词命题的否定为全称量词命题.
D
3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则p的否定为(　　)
A. x∈A，2x∈B B. x A，2x B
C. x A，2x∈B D. x∈A，2x B
解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，p的否定应为： x∈A，2x B.选D.
D
B
4.已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则p的否定为(　　)
A. x≤0，使得x＋1≤1 B. x>0，使得x＋1≤1
C. x>0，总有x＋1≤1 D. x≤0，总有x＋1≤1
解析　“ x>0，总有x＋1>1”的否定是“ x>0，使得x＋1≤1”.故选B.
ABD
5.(多选题)下列命题p的否定正确的是( 　 　)
A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n>100.
解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.A，B，D正确.
x∈(0，＋∞)，x2≠x－1
7.命题“每个函数都有最大值”的否定是__________________________.
解析　命题的量词是“每个”，即为全称量词，因此其否定是存在量词，
故应填：有些函数没有最大值.
有些函数没有最大值
8.已知命题p： x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________________.
解析　若命题p为假命题，
则命题p的否定： x∈R，x2＋2ax＋a≤0为真命题，
故Δ＝4a2－4a≥0，∴a≤0或a≥1，
∴当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤0或a≥1}.
{a|a≤0或a≥1}
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)q：有理数都能写成分数的形式；
(3)s：有些实数的绝对值是正数.
解　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p的否定为：存在一个素数不是奇数，是真命题.
(2)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，q的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题.
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，s的否定为：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(2)q的否定为：有的正方形不是矩形，假命题.
(3)r的否定为： x∈R，x2＋2x＋2＞0.
∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，
∴r的否定是真命题.
∴p的否定是假命题.
ACD
11.(多选题)下列命题的否定是假命题的是(　　 )
A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B.所有平行四边形都不是矩形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
解析　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题，
B的否定：有些平行四边形是矩形，真命题，
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，
D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.
12.已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命题是假命题，则实数a的取值范围为_______________.若此命题是真命题，则实数a的取值范围为_______________.
解析　因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”.
当此命题是假命题时，其否定为真命题.
由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是a<－2或a>2.
当此命题是真命题时，知Δ≤0，
则a2－4≤0，得－2≤a≤2.
{a|a<－2或a>2}
{a|－2≤a≤2}
13.已知命题p： x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围.
解　因为p的否定为假命题，所以p为真命题，
即 x∈R，x2－2x＋m＝0成立，
即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1.
故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
解析　由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}.
由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2(a＞0)，－1≤x≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}.
[3，＋∞)
本节内容结束