必修 第一册 苏教版（新教材新标准） 第三章 培优课 破解“恒成立”、“能成立”问题(共16张PPT)

(共16张PPT)
培优课　破解“恒成立”、“能成立”问题
函数与不等式的恒成立、能成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题.为了更好地准确地快速解决这类问题，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.
类型一　“Δ”法解决恒成立问题
【例1】　已知不等式kx2＋2kx－(k－2)＞0恒成立，求实数k的取值范围.
类型一　“Δ”法解决恒成立问题
【例1】　已知不等式kx2＋2kx－(k－2)＞0恒成立，求实数k的取值范围.
解　当k＝0时，原不等式化为2＞0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k－2)，
由y＞0恒成立，
∴其图象都在x轴的上方，
即开口向上，且与x轴无交点.
综上，实数k的取值范围{k|0≤k＜1}.
类型二　数形结合法解决恒成立问题
【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.
类型二　数形结合法解决恒成立问题
【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.
解　令y＝x2＋mx＋4.
∵当1≤x≤2时，y＜0恒成立，
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.
画出二次函数y＝x2＋mx＋4的图象如图，
∴m的取值范围是{m|m＜－5}.
类型三　分离参数法解决恒成立问题
【例3】　设函数y＝mx2－2mx＋1，2≤x≤3，若y＞－3m＋7恒成立，求实数m的取值范围.
解　y＞－3m＋7恒成立，即m(x2－2x＋3)－6＞0恒成立，
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴只需m＞2即可.
故m的取值范围为(2，＋∞).
类型四　主参换位法解决恒成立问题
【例4】　已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围.
解　y＜0 mx2－mx－6＋m＜0 (x2－x＋1)m－6＜0.
类型五　利用图象解决能成立问题
【例5】　当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为______________.
解析　法一　
当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＞0有解的反面为
当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4≤0恒成立，
令y＝x2＋mx＋4，
(－5，＋∞)
∴m≤－5，∴使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＞0
有解的m的取值范围为(－5，＋∞).
法二　此题也可转化为
显然x＝1时，ymin＝－5，∴m＞－5，
即m的取值范围为(－5，＋∞).
类型六　转化为函数的最值解决能成立问题
解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
又y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
尝试训练
A.10 B.1 C.8 D.7
B
解析　∵a>0，b>0，且2a－b＝1，
当且仅当a＝b＝1时取等号.
2.若当－1≤a≤1时，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.{x|x＜1或x＞3} B.{x|x≤1}
C.{x|x＞3} D.{x|x≤1或x≥3}
A
2.若当－1≤a≤1时，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.{x|x＜1或x＞3} B.{x|x≤1}
C.{x|x＞3} D.{x|x≤1或x≥3}
解析　原问题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4＞0
在－1≤a≤1上恒成立，
A
(2，＋∞)
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