必修 第一册 苏教版（新教材新标准）3.2.2 基本不等式的应用(共43张PPT)

(共43张PPT)
3.2.2　基本不等式的应用
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
课标要求
素养要求
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
基本不等式与最大(小)值
点睛
利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；
③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.
1.思考辨析，判断正误
提示　a，b为非负实数.
×
×
提示　a，b为非负实数.
×
提示　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2，取不到最小值2.
C
当且仅当x＝－1时“＝”成立.
解析　∵x>－2，
D
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　基本不等式的变形应用求最值
角度1　积定求和或和定求积的最值
【例1】　(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)
D
角度2　“1”的代换求最值
16
解析　法一(1的代换)
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
因为x>0，y>0，所以y>9.
因为y>9，所以y－9>0，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
9
解析　∵x＋y＝1，
角度3　恒成立问题求最值
解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
B
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
思维升华
【训练1】　(1)若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)
A.9 B.8 C.5 D.4
当且仅当x＝2y＝6时等号成立，
则x＋y的最小值为9.
A
B
题型二　基本不等式的实际应用
【例4】　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)用x表示y；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用
最小，并求出最小总费用.
解　(1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.
思维升华
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.
(2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.
(3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①一正——各项为正数；
②二定——和或积为定值；
③三相等——等号一定能取到.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
B
2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　)
C
3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　)
解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，
A
C
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
∵要求够用且浪费最少，故选C.
C
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
二、填空题
6.已知x，y都是正数.
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.
5
7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.
∴k1＝20，k2＝0.8.
三、解答题
9.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy的最大值为6.
解　∵3x＋2y＝12，
解　设总费用为y元.
由题意得
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
BC
11.(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
当且仅当a＝b时等号成立.
当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确；
又a2＋b2≥2ab，
∴B正确；
20
12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2.
当且仅当x＝20时，等号成立，
即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2.
400
13.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，求车厢的最大容积.
解　设车厢的长为b m，高为a m.
设a＋1＝t，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.
故车厢的最大容积是16 m3.
解析　正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
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