必修 第一册 苏教版（新教材新标准）3.3.1 从函数观点看一元二次方程(共40张PPT)

(共40张PPT)
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.
2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
课标要求
素养要求
通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当____________时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与__________________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.
函数值取零
x轴交点的横坐标
2.二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 )
点睛
二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？
二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.
1.思考辨析，判断正误
(1)二次函数的零点是图象与x轴的交点.( )
提示　零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有零点.( )
提示　当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点.
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.( )
×
×
√
√
A
2.函数y＝x2＋x＋3的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由x2＋x＋3＝0得Δ＝1－12<0，
∴方程没有实数根，从而函数没有零点.
3.函数y＝2x2－5x＋2的零点是(　　)
C
4.若一元二次方程x2－4x＋2k＝0有实数根，则k的取值范围是______________.
解析　由Δ＝16－8k≥0，得k≤2.
(－∞，2]
课堂互动
题型剖析
2
题型一　二次函数零点的判断
【例1】　判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.
(1)y＝－x2＋2x＋3.
(2)y＝x2－x－6.
(3)y＝2x2＋3x＋2.
解　(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，
得x1＝－1，x2＝3.
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.
(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3.
∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.
(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0.
∴方程没有实数根，∴二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.
思维升华
二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
【训练1】　判断下列函数零点的个数.
(1)y＝x2－7x＋12.
(2)y＝x2＋1.
(3)y＝3x2＋6x＋3.
解　(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，
∴函数有两个零点.
(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.
(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0，
∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.
题型二　函数零点与参数的值
【例2】　若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.
解　由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴y＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.
∴函数其余的零点是2.
由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.
思维升华
【训练2】　(1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为________.
解析　函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，
即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，
因而Δ1＝a2－4b>0.
对于函数y2＝－bx2＋ax－1，
当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；
当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，
因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点.
综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2.
1或2
(2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是(　　)
解析　由2和3是函数的零点，故2＋3＝a，2×3＝b，∴a＝5，b＝6，
B
题型三　一元二次方程根的分布
【例3】　已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围.
解　设y＝x2＋mx＋1，
解决一元二次方程根的分布问题应注意
(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.
(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点处的函数值与零的关系.
(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.
(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列不等式求解.
思维升华
【训练3】　(1)若函数y＝x2＋(1－m)x＋m－2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是______________.
解析　由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根.
∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2.
(－∞，2)
(2)若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　)
解析　设y＝4x2＋(m－2)x＋m－5，依题意得出函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内.画出函数的大致图象如图所示.
B
1.掌握1个概念——函数的零点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.
2.提升1个素养——数形结合
结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
C
一、选择题
1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，
∴方程有两个实根，即函数有两个零点.
2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞) B.(－∞，4)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
解析　∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，
∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，
只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.
故选A.
A
3.若二次函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一个正零点和一个负零点，则有(　　)
A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1
解析　法一　由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象过(0，1)点，知要使函数的图象与x轴的交点分别在y轴的左、右两侧，则a<0.
A
法二　由方程ax2＋2x＋1＝0有两相异号实根，设两根为x1，x2，
C
4.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为(　　)
解析　∵1和2是ax2＋bx＋c＝0的两根，
B
5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.0 D.不能确定
解析　由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，
∴函数的零点有2个.
二、填空题
6.函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.
解析　由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，
∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.
1
2
－3
7.已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________.
解析　由题意知ax2＋2ax＋c＝0的一个根为1，设另一根为x0.
则1＋x0＝－2，∴x0＝－3.
0
8.函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________.
解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函数的零点是－1，6，
∴函数在区间[1，4]上的零点个数为0.
三、解答题
9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值.
解　二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，即方程－x2－x＋a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1＋4a＝0.
10.已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求实数a的取值范围.
解　∵y＝ax2＋2ax＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x轴有两个交点，又x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
当a≠0时，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0为一元二次方程，且有两个相等的实数根，
B
12.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则y＝x⊙(x－2)的零点为(　　)
A.0和2 B.－2和1
C.－1和2 D.－2和0
解析　由题意y＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
令y＝0，
∴x＝－2或x＝1.
13.若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根.
解　由题意知，关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式
Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，
∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根.
ABD
14.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A.x1<2且22且x2>5
C.x1<2且x2>5 D.25
解析　令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1，
∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)·(x－5)与函数y＝1图象的交点的横坐标.
在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与
y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.
本节内容结束