必修 第一册 苏教版（新教材新标准）3.3.2 一元二次不等式的解法(共48张PPT)

(共48张PPT)
3.3.2　一元二次不等式的解法
1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
课标要求
素养要求
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.一元二次不等式
点睛
只含有一个________，并且未知数最高__________的整式不等式叫作一元二次不等式.
未知数
次数是2
一元二次不等式与二次函数有什么关系？
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
1.思考辨析，判断正误
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.( )
提示　只有当a≠0时，ax2＋x－1<0才是关于x的一元二次不等式.
(2)如果关于x的二次方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.( )
提示　当a>0时，解集为R；当a<0时，解集为 .
(3)x2－1>0与1－x2<0的解集相等.( )
(4)不等式x2>1的解集是{x|x>1或x>－1}.( )
提示　解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
×
×
√
×
B
2.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　②④一定是一元二次不等式.
3.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
解析　原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
D
4.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________________.
{x|x>3或x<－2}
课堂互动
题型剖析
2
题型一　一元二次不等式的解法
【例1】　解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
解　由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
思维升华
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零.
(2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【训练1】　解下列不等式：
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
解　(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，
所以方程x2－6x＋10＝0无实根，
又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 .
题型二　“三个二次”间对应关系的应用
∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，
即x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2思维升华
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.
解得a＝－6，c＝－1.
题型三　解含参数的一元二次不等式
角度1　讨论两根大小
【例3】　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).
解　原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a<－1＋a，
即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
角度2　讨论二次项系数
【例4】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
角度3　讨论判别式
【例5】　解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R).
方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，
方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.
方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.
解含参数的一元二次不等式的步骤
思维升华
【训练3】　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
即原不等式的解集为 ；
1.掌握1个知识点——一元二次不等式的解法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}.
有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
课堂小结
2.突破1个重难点——含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3.规避1个易误点
当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A
一、选择题
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
解析　因为6x2＋x－2≤0 (2x－1)(3x＋2)≤0，
D
3.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81 C.－64 D.64
解析　不等式x2B
故1和3是x2－ax－b＝0的两根，
解得a＝4，b＝－3.
所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
B
4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1解析　根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，
则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2A
5.若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为(　　)
A.{x|x<－5或x>3} B.{x|－5C.{x|x<－3或x>5} D.{x|－3解析　由题意知－3和5是ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得：
代入得ax2＋2ax－15a<0，
又由解集的形式知a<0，∴x2＋2x－15>0，
∴(x－3)(x＋5)>0
∴x>3或x<－5.
4
故a＋b＝4.
7.不等式－1解析　由－1＜x2＋2x－1≤2，
{x|－3≤x<－2或0∴－3≤x<－2或08.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为_______________.
解析　由题意ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x＋1)，
故原不等式可化为a(x－2)(x＋1)≥0，
又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0，
所求解集为[－1，2].
[－1，2]
三、解答题
9.解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为 .
10.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.
解　(1)由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3∴B＝{x|－1(2)由已知得－1和2为x2＋ax＋b＝0的两根，
∴不等式ax2＋bx＋3＜0为－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1.
∴所求不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.
BC
11.(多选题)下列不等式的解集为R的是(　　)
B中，Δ＝62－4×10＜0，解集为R；
C中，不等式可化为x2－x＋2＞0，Δ＝(－1)2－4×2＜0，解集为R；
D中不等式化为2x2－3x＋3<0，Δ＝(－3)2＋4×2×3＜0，解集为 .
∴m的取值范围是{m|m<0}.
(－∞，0)
13.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}.
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}.
又f(1)＝a－b＋c＞0，f(－1)＝a＋b＋c＜0，
作出函数y＝ax2－bx＋c的简图如图.
③⑤
∴b＜0，而f(0)＝c＞0，
故③⑤正确.
本节内容结束