必修 第一册 苏教版（新教材新标准）3.3.3 一元二次不等式的应用(共49张PPT)

(共49张PPT)
3.3.3 一元二次不等式的应用
1.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
课标要求
素养要求
从函数观点认识不等式，解决不等式的实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，在解决实际问题时，培养数学建模素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
2.简单的分式不等式的解法
(ax+b)(cx+d)＞0(＜0)
(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)且cx+d≠0
3.不等式恒成立问题
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴____方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴____方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
上
下
点睛
1.思考辨析，判断正误
(2)对于ax2＋3x＋2>0，当a＝1时与a＝－1时，对应的不等式解集不能求并集.( )
提示　两不等式等价，但函数图象不同.
√
提示　当a>0时成立，a<0时不等价.
(4)若不等式x2＋mx＋1≥0解集为R，则实数m的取值范围是[－2，2].( )
×
√
A.[1，2] B.(－∞，1]∪[2，＋∞)
C.[1，2) D.(－∞，1]∪(2，＋∞)
D
∴x>2或x≤1.
令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}
C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
B
4.对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则实数a的取值范围为_______________.
解析　要使y>0恒成立，只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2{a|－2课堂互动
题型剖析
2
题型一　简单分式不等式的解法
【例1】　解不等式：
解　原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
思维升华
【训练1】　解下列不等式：
解　原不等式可化为
题型二　不等式在实际中的应用
【例2】　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
解　降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解　原计划税收为200a·10%＝20a(万元).
思维升华
解不等式应用题的步骤
【训练2】　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
解　由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
题型三　不等式恒成立问题
角度1　在R上恒成立问题
【例3】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
解得－1综上，实数k的取值范围是(－1，0].
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解　原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，
即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
角度2　在给定闭区间上的恒成立问题
【例4】　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求实数m的取值范围；
解　要使mx2－mx－1<0对x∈R恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
∴－4即m的取值范围是(－4，0].
(2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围.
解　当x∈[1，3]时，y<－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
又m(x2－x＋1)－6<0，
思维升华
【训练3】　若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对 x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
解　由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6<0，解得x<3，不符合题意，应舍去.
当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对 x∈R恒成立，
课堂小结
课堂小结
(3)利用不等式解决实际问题：
一般步骤
①选取合适字母表示未知数.
②由题目条件，列出关于未知数的不等式或不等式组.
③求解所列的不等式(组).
④结合题目的实际意义确定答案.
分层训练
素养提升
3
D
故－12.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.[0，4) C.(0，4] D.[0，4]
解析　当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意；
当a<0时，ax2－ax＋1<0的解集不可能为空集；
当a>0时，要使ax2－ax＋1<0的解集为空集，
D
B
故选B.
D
4.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2解析　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；
解得－2AB
5.(多选题)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝(500＋30x)元.若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围可以是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N*} 　 B.{x|30≤x≤45，x∈N*}
C.{x|15≤x≤30，x∈N*} 　 D.{x|15≤x≤45，x∈N*}
解析　设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，
故当20≤x≤45且x∈N*时，每天获得的利润不少于1 300元.故选AB.
二、填空题
6.已知命题p： x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是______________.
解析　当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；
当a≠0时，要使 x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，
则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，
[0，4)
综上可得，实数a的取值范围是[0，4).
7.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b元所在的范围应是______________.
解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，
得0∴售价b元所在的范围应为90{b|908.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_________________________.
解析　不等式x2－ax－a≤－3变形为x2－ax＋3－a≤0，
∵不等式有解，
∴方程x2－ax＋3－a＝0的判别式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，
解得a≤－6或a≥2，
故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(－∞，－6]∪[2，＋∞)
10.已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围.
解　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方.
当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
B
11.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－4，1] B.[－4，3] C.[1，3] D.[－1，3]
解析　由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0.
若a＝1，则不等式的解集为{1}，符合题意；
若a<1，则不等式的解集为[a，1]，若满足[a，1] [－4，3]，则－4≤a<1；
若a>1，则不等式的解集为[1，a]，若满足[1，a] [－4，3]，则1综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4，3].
12.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析　依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
因为0即最低产量是150台.
150
13.已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求关于x的不等式x2－x－a2＋a<0的解集.
解　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，
∴当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
B
14.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的最小值是(　　)
解析　由于x∈(0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
因此a≥－2，则a的最小值为－2.
本节内容结束