北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 单元测试（word版 含解析）

第七章　平行线的证明
一　选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列语句中不是命题的是 (　　)
A.两直线平行,同位角相等 B.直线AB垂直于CD吗
C.若|a|=|b|,则a2=b2 D.同角的补角相等
2. “对顶角相等”是 (　　)
A.定义 B.公理 C.假命题 D.定理
3.下列能说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的反例是 (　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=2
C.a=-1,b=-1 D.a=-1,b=-2
4.若三角形的三个内角的度数比为2∶3∶4,则这个三角形一定是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
5.如图,∠DBA=105°,∠ECA=125°,则∠A的度数是 (　　)
A.75° B.60° C.55° D.50°
(第5题)　(第6题)　(第7题)
6.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 (　　)
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
7.如图,下列条件中,不能判定直线l1∥l2的是 (　　)
A.∠1=∠3 B.∠4=∠5
C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180°
8.如图,AB∥CD,∠B=40°,∠C=50°,则∠E的度数为 (　　)
A.70° B.80° C.90° D.100°
(第8题)　　　(第9题)　　　 (第10题)
9.如图,AB∥CD,Rt△EFG的顶点G在CD上,EF,EG分别交AB于点N,M,∠F=90°,若∠MNF=110°,则∠FGC的度数为 (　　)
A.45° B.20° C.30° D.50°
10.如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是 (　　)
A.γ-β=2α B.γ-2β=α
C.γ-β=α D.α+β-γ=180°
二　填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.命题“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”中,条件是　　　　　　　　　　　.
12.如图,射线CA与直线BE相交于点O,请你添加一个条件　　　　,使BE∥CD.
(第12题)　　(第13题)　　(第14题)
13.如图,把△ABC的一角折叠,若∠1+∠2=130°,则∠A=　　　　.
14.将一副直角三角板按图中所示位置摆放,点D在边AB上,两条斜边为EF,BC,且EF∥BC,则∠ADF=　　　　.
15.[教材变式P180第4题]如图(1),在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC=×180°+∠A.如图(2),在△ABC中,∠ABC,∠ACB的两条三等分角线分别对应交于点O1,O2,则∠BO1C=×180°+∠A,∠BO2C=×180°+∠A.根据以上阅读理解,猜想图(3)中[n等分时,内部有(n-1)个点]∠BOn-1C=　　　　.(用含n的代数式表示)
　 图(1)　　　　图(2)　　　　　　图(3)
三　解答题(共5小题,共55分)
16.(9分) 判断下列命题是真命题还是假命题,并写出下列命题的条件和结论.
(1)两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
(2)绝对值等于2 021的数是2 021;
(3)全等三角形的对应边相等.
17.(10分)已知:如图(1),在△ABC中.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
探索:小颖通过借助平行线的性质进行证明.
方法1:如图(2),过点A作AD∥BC;
方法2:如图(3),过点A作MN∥BC.
请任选一个方法进行证明.
　图(1)　　　　　　　图(2)　　　　　　　图(3)
18.(11分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E是CA延长线上的一点,过点E作EG⊥BC于点G,交AB于点F,已知∠E=∠EFA.
(1)求证:AD平分∠BAC.
(2)若∠B=48°,求∠C的度数.
19.(12分)如图(1),AC平分∠DAB,∠1=∠2.
(1)试说明AB与CD的位置关系,并予以证明;
(2)如图(2),当∠ADC=120°时,点E,F分别在CD和AC的延长线上运动,试探讨∠E和∠F的数量关系;
(3)如图(3),AD和BC的延长线交于点G,过点D作DH∥BC交AC于点H,若AC⊥BC,问当∠CDH为多少度时,∠GDC=∠ADH.
　　　 图(1)　　　　　　图(2)　　　　　　图(3)
20.(13分) 如图(1),若线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系为　　　　　　　　　　;
(2)如图(2),若∠CAB和∠BDC的平分线AP,DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.
①若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数;
②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,请直接写出∠P与∠B,∠C之间的数量关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　图(1)　　　　　　　　图(2)
1.B　B中的语句是疑问句,没有作出判断.
2.D　“对顶角相等”是定理,它是由等量代换推理得到的,是真命题.故选D.
3.A　当a=1,b=-1时,a2=b2,此时a=-b.故选A.
4.A　设这个三角形的三个内角的度数分别为2x,3x,4x,由三角形内角和定理,得2x+3x+4x=180°,解得x=20°,则这个三角形的三个内角的度数分别为40°,60°,80°,所以这个三角形一定是锐角三角形.故选A.
5.D　∵∠DBA=105°,∠ECA=125°,∴∠ABC=180°-105°=75°,∠ACB=180°-125°=55°,∴∠A=180°-75°-55°=50°.故选D.
6.B　因为∠2是△CDE的外角,所以∠2>∠1.因为∠1是△ACD的外角,所以∠1>∠A,所以∠2>∠1>∠A.
7.C　由∠1=∠3,根据内错角相等,两直线平行可判定l1∥l2.由∠4=∠5,根据同位角相等,两直线平行可判定l1∥l2.由∠2+∠4=180°,根据同旁内角互补,两直线平行,可判定l1∥l2,故选C.
【提分技法】判定两直线平行的常用方法
(1)平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线;(2)同位角相等,两直线平行;(3)内错角相等,两直线平行;(4)同旁内角互补,两直线平行;(5)在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线相互平行;(6)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行.
8.C　如图,∵AB∥CD,∠B=40°,∴∠1=∠B=40°,∴ ∠E=180°-∠1-∠C=180°-40°-50°=90°.故选C.
(第8题)　　　(第9题)
9.B　如图,过点F作FH∥AB,∴∠MNF+∠NFH=180°,∴∠NFH=70°,∴∠HFG=∠EFG-∠NFH=20°.∵FH∥AB,AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠FGC=∠HFG=20°.故选B.
10.A　由折叠得∠A=∠A',由外角性质可知,∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA'.∵∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,即γ-β=2α.故选A.
11.两条直线都与第三条直线平行
12.∠AOE=∠C(或∠BOC=∠C,∠COE+∠C=180°,答案不唯一)
13.65°　【解析】如图,由折叠可得∠3=∠5,∠4=∠6.∠3+∠5+∠1=180°,∠2+∠4+∠6=180°,∴2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°.∵∠1+∠2=130°,∴∠3+∠4=115°,∴∠A=180°-∠3-∠4=65°.
14.75°　【解析】设CB与FD交于点G,∵EF∥BC,∴∠BGD=∠F=45°.∵∠ADG是△BDG的外角,∴∠ADG=∠B+∠BGD=30°+45°=75°.
15.×180°+∠A　【解析】由题意可得∠BO1C=×180°+∠A,∠BOn-1C=×180°+∠A.
16.【解题思路】正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.先将所给的命题写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面是条件,“那么”后面是结论.
【参考答案】(1)假命题.
条件:两条直线被第三条直线所截.
结论:内错角相等. (3分)
(2)假命题.
条件: 一个数的绝对值等于2 021.
结论:这个数是2 021. (6分)
(3)真命题.
条件: 两个三角形全等.
结论: 这两个三角形的对应边相等. (9分)
17.【参考答案】选方法1.
证明:∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C. (4分)
∵∠EAB=∠EAD+∠DAC+∠CAB=180°, (8分)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°. (10分)
选方法2.
证明:∵MN∥BC,
∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C. (4分)
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°, (8分)
∴∠B+∠BAC+∠C=180°. (10分)
18.【解题思路】(1)由垂直的定义可得∠EGC=∠ADC=90°,由平行线的判定可得AD∥EG,由平行线的性质可得∠E=∠CAD,∠DAB=∠EFA,结合已知等量代换即可判断;(2)由三角形内角和定理求出∠DAB的度数,然后结合(1)中的结论可求得∠CAD的度数,进而可求出∠C的度数.
【参考答案】(1)证明:∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠EGC=∠ADC=90°,
∴AD∥EG,
∴∠E=∠CAD,∠DAB=∠EFA. (3分)
∵∠E=∠EFA,
∴∠CAD=∠DAB,
∴AD平分∠BAC. (6分)
(2)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠B=48°,
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-48°=42°. (9分)
∵∠CAD=∠DAB,
∴∠CAD=42°,
∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-90°-42°=48°. (11分)
19.【解题思路】(1)根据角平分线的定义并结合∠1=∠2推出内错角相等可得CD∥AB;(2)借助三角形的外角性质探究∠E与∠F之间的关系;(3)采用逆向思维,把∠GDC=∠ADH当作已知条件计算∠CDH的度数.
【参考答案】(1)CD∥AB.
证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠BAC.
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠BAC,
∴CD∥AB. (4分)
(2)当∠ADC=120°时,∠1=∠2=30°.
∵点E,F分别在CD和AC的延长线上运动,
∴∠2是△CEF的外角,
∴∠E+∠F=∠2=30°. (8分)
(3)∵DH∥BC,AC⊥BC,
∴DH⊥AC.
∵∠1=∠2,
∴∠ADH=∠CDH,
∴当∠GDC=∠ADH时,∠CDG=∠CDH=∠ADH,
∴∠CDH=×180°=60°.
故当∠CDH为60°时,∠GDC=∠ADH. (12分)
20.【参考答案】(1)∠A+∠C=∠B+∠D (3分)
解法提示:在题图(1)中,∵∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)①∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C.
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=(∠B+∠C)=(100°+120°)=110°. (9分)
②3∠P=∠B+2∠C. (13分)
解法提示:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB.
∵∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=(∠CDB-∠CAB),
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=(∠CDB-∠CAB),
∴2(∠C-∠P)=∠P-∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.