北师大版数学七年级上册同步提优训练：3.5第2课时　借助运算解释规律和现象(word版含答案)

第2课时　借助运算解释规律和现象
考向题组训练
命题点 1　利用整式解释游戏现象
1.如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏.请根据图中所给的信息求出淇淇所猜中的数字是多少.
命题点 2　从运算结果找规律
2.小明在做数学题时,发现下面有趣的结果:
3-2=1,
8+7-6-5=4,
15+14+13-12-11-10=9,
24+23+22+21-20-19-18-17=16,
…
根据以上规律可知第10行左起第一个数是(　　)
A.100 B.121 C.120 D.82
3.(2021随州)如图,根据图中数字的规律,若第n个图中的q=143,则p的值为 (　　)
A.100 B.121 C.144 D.169
4.观察下列等式:
12=×1×2×(2+1),
12+22=×2×3×(4+1),
12+22+32=×3×4×(6+1),
12+22+32+42=×4×5×(8+1),
…
可以推测12+22+32+…+n2=　　　　　　.
5.观察:
当图中有1个梯形时,图形的周长=5;
当图中有2个梯形时,图形的周长=8;
当图中有3个梯形时,图形的周长=　　　　;
当图中有4个梯形时,图形的周长=　　　　;
根据上述结论可推断出:当图中有n个梯形时,图形的周长为　　　　.
6.观察,回答下列问题:
(1)由上而下第10行,白球有　　　　个,黑球有　　　　个;
(2)若第n行白球与黑球的总数记作y,请你用含n的代数式表示y.
7.如图,将边长分别为1,2,3,5,…的若干个正方形按照一定的规律拼成不同的长方形,依次记作长方形①,长方形②,长方形③,长方形④,…,据此回答下列问题:
(1)组成长方形的正方形的个数为　　　　;
(2)求长方形⑥的周长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维拓展培优 　
8.建模是数学的核心素养之一,小明在计算+++…+时利用了如图所示的正方形模型.
设正方形的面积为1,第1次分割,把正方形的面积三等分,阴影部分的面积为;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积为+;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积为++;
……
由此,计算+++…+的结果是　　　　　(用含n的代数式表示).
9.已知一个面积为S的等边三角形,现将其各边n(n为大于2的整数)等分,并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形(如图所示).
(1)当n=5时,共向外作出了　　　　个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为　　　　;
(2)当n=k时,共向外作出了　　　　个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和为　　　　(用含k的式子表示);
(3)若大等边三角形的面积为100,则当n=10时,共向外作出了多少个小等边三角形 这些小等边三角形的面积和为多少
答案
第2课时　借助运算解释规律和现象
1.解:设嘉嘉抽中的牌的点数为x,
则(2x+6)÷2-x
=x+3-x
=3.
即淇淇所猜中的数字是3.
2.C　 根据规律可知第10行中等号的右边是102=100,等号左边有20个数相加减,即120+119+118+…+111-110-109-108-…-102-101,
所以第10行左起第一个数是120.
3.B　 通过观察可得规律:p=n2,q=(n+1)2-1.因为q=143,所以(n+1)2-1=143,(n+1)2=144.解得n=11(负值已舍去).
所以p=n2=112=121.
故选B.
4.n(n+1)(2n+1)
因为第1个等式:12=×1×2×(2×1+1);
第2个等式:12+22=×2×3×(2×2+1);
第3个等式:12+22+32=×3×4×(2×3+1)
第4个等式:12+22+32+42=×4×5×(2×4+1),…,
所以第n个等式:12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
5.11　14　3n+2　 当图中有3个梯形时,图形的周长为11,当图中有4个梯形时,图形的周长为14.
总结规律:每增加一个梯形,图形的周长增加3,
则当图中有n个梯形时,图形的周长为5+3(n-1)=3n+2.
6.解:(1)10　19
(2)y=n+2n-1=3n-1(n为正整数).
7. (1)结合图形分析得到正方形的个数;
(2)根据长方形的周长计算公式,找出长方形与前一个长方形的长、宽之间的关系,然后计算结果.
解:(1)在长方形①中,正方形的个数为2;
在长方形②中,正方形的个数为3;
在长方形③中,正方形的个数为4;
……
在长方形中,正方形的个数为n+1.
故答案为n+1.
(2)长方形①的周长为2×(1+2);
长方形②的周长为2×(2+3);
长方形③的周长为2×(3+5);
长方形④的周长为2×(5+8);
……
长方形的宽为前一个长方形的长,
长方形的长为前一个长方形长与宽的和.
故长方形⑤的周长为2×(8+13),长方形⑥的周长为2×(13+21)=68.
8.-　 第1次分割,阴影部分的面积为,空白部分的面积为1-=;
第2次分割,阴影部分的面积为+,空白部分的面积为1-+=;
第3次分割,阴影部分的面积为++,空白部分的面积为1-++=;
……
第n次分割,阴影部分的面积为+++…+,空白部分的面积是.
根据第n次的分割图可知+++…+=1-,
将上述等式两边同时除以2,得+++…+=-.
9.解:(1)n=5对应图中第三个图形,共向外作出了3×3=9(个)小等边三角形,每个小等边三角形的面积为·S=S.
故答案为9,S.
(2)当n=k时,共向外作出了3(k-2)个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和为S.
故答案为3(k-2),S.
(3)当S=100,n=10时,3(n-2)=3×(10-2)=24(个),S=×100=24.
即共向外作出了24个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和为24.