四川省达州市2012-2013学年高二下期末数学（文）试题

达州市2013年高中二年级春季期末检测
数学（文 考试时间120分钟 满分150分）
参考答案及评分标准（附试题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将符合题目要求的番号填在答案卷的相应空格内.
1．已知，为虚数单位，计算（C ）.

2.“等比”是“”的（A ）.
充分不必要条件 充要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件
3. 已知，的导数为，则（ C ）.
2
4. 函数在处的切线方程是（B ）.


5.已知 所有国产手机都有陷阱消费，则是（C ）.
所有国产手机都没有陷阱消费 有一部国产手机有陷阱消费
有一部国产手机没有陷阱消费. 国外产手机没有陷阱消费
6. 已知“或”是真命题，则的取值范围是 （D ）.

7. .下面四个命题，是真命题的是（C ）.
是的必要不充分条件 “是偶数”的充要条件是“和都是偶数”
若假，则真 若，则
8. 已知是单调函数，则实数的的取值范围是（B ）.

9.已知函数在区间上有极大值，则实数的的取值范围是 ( A ) .

10. 已知在区间上不单调，则的取值范围是（B ）.

二、填空题:每小题5分，共25分，请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内。
11．复数的共轭复数.　
12．如图，第一排图是长度分别为1、2、3、…、的线段，第二排图是边长分别为1、2、3、…、的正方形，第三排图是棱长分别为1、2、3、…、的正方体，根据图中信息，可得出棱长为的正方体中的正方体个数是．
13．若函数有零点，则实数的取值范围是 .
14.已知，抛物线
在处的切线
的倾斜角为，则的最小值是　18 ．　
5.已知是的导数，记，
，
给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④设、、和都是相同定义域
上的可导函数，，则．
则结论正确的是 ①②③ （多填、少填、错填均得零分）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
已知，是的导数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）求与单调性相同的区间．
解（Ⅰ）∵，
∴，
由得，或，由得，．当变化时，变化情况如下表：
＋
－
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴的极大值，的极小值．………6分
（Ⅱ）设，∴，
由得，，为增函数，由得，，为减函数．
再结合（Ⅰ）可知：与的相同减区间为，相同的增区间是………12分
17.(本题满分12分)
已知　命题：点的坐标为，点的坐标分别是，
命题：直线的斜率分别是，，
真．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）指出点的轨迹类型（如圆、抛物线、直线等）．
解：（Ⅰ）由题意得，，
∵，∴，
所以所求轨迹方程是：．……………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）点的轨迹方程为，
当且时，方程可化为　，∴ 的轨迹是椭圆（除去与相交的项点）；
当时，方程，∴ 的轨迹是圆（除去与的交点）；　
当时，方程是， ∴ 的轨迹是轴（除去和两点）；
当时，方程可化为，∴ 的轨迹是双曲线（除去项点）……12分
18.(本题满分12分)
已知的极值点是．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求的递增区间.
解：（Ⅰ）∵，
∴
由题意，，即
，
解得，．
经验证，当时，的极值点是，所以……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，
解不等式得，或，
∴的递增区间是，．……………………………………12分
19. (本题满分12分)　
某校一次数学研究性学习活动中，一个密封的箱子内装有分别写上，，六个函数的六张外形完全一致的卡片（一张卡片一个函数），参与者有放回的抽取卡片，参与者只参加一次．如果只抽一张，抽得卡片上的函数是其它某一张卡片上函数的导数，抽取者将获得三等奖；如是先后各抽一张，抽出的卡片中，其中一张上的函数是另一张卡片上函数的导数，抽取者将获得二等奖；如果先后各抽一张，第一张卡片上的函数的导数是第二张卡片上的函数，抽取者将获得一等奖．
（Ⅰ）求学生甲抽一次获得三等奖的概率；
（Ⅱ）求学生乙抽一次获得二等奖的概率；
（Ⅲ）求学生丙抽一次获得一等奖的概率．
解（Ⅰ）在，，六个函数中，， 这三个函数可作为其它函数的导数．
设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件，∴．………………………………………4分
（Ⅱ）在，，六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种，其中，组合两种，，组合一种，组合两种，，组合两种共7种都满足得二等奖的要求．
设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件，∴．…………………………………………8分
（Ⅲ）在，，六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种，其中，组合1种，，组合1种，组合1种，，组合1种共4种都满足得一等奖的要求．
设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件，∴．
答：甲乙丙三人各得三二一等奖的概率分别是．…………………………………………12分
20．(本题满分13分)
已知　（是自然对数的底数），
（Ⅰ）求的单调区间；
(Ⅱ)设，求数列的前项和，并证明；
解：（Ⅰ）∵，∴，
当时，，是单调递增，当时，，是单调递减．
所以的递增区间是，递减区间是．　…………………………………………5分
（Ⅱ）∵，，∴且，
∴
∴
　　　　　　　　　
∴．
由（Ⅰ）知，∴，∴，∴，
∴．…………………………………………13分
21.（本题满分14分）
已知,,,函数的导数的图象如图所示.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）对一切恒成立,求实数求的取值范围；
（Ⅲ）设，求函数的零点个数；.
解（Ⅰ）∵,∴
由图可知,∴,
将代入计算得,
∴.…………………………………………3分
（Ⅱ）设.
∴,∴当时,,单调递增,当时, ,单调递减.
∴,即对一切,都有,
∴,即.
由（Ⅰ）得=,所以对一切都有.
所以实数求的取值范围是.…………………………………………8分
（Ⅲ）,.
设,则,所以当时,是增函数,当时, 是减函数,所以.
又,所以在区间上存在唯一的实数,使得 (是自然对数的底数),
所以当变化时,的变化情况如下表:
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值1
↘
∴,且,
∴.
∵在区间递减,,∴在区间上存在唯一一点,使得.
综上所述,函数的零点个数是1. …………………………………………14分