【核心素养目标】24.2.1 点与圆的位置关系 教案

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24.2.1点与圆的位置关系 教学设计
课题 24.2.1点与圆的位置关系 单元 第24单元 学科 数学 年级 九年级（上）
教材分析 通过本节课的学习，渗透数形结合的思想和运动变化的观点教育，发展用数学知识解决实际问题的能力，激发学生学习数学的积极性。
核心素养分析 体现几何直观、推理能力核心素养，经历探索点与圆的位置关系过程，体会数学中分类思考问题的数学思想。
学习目标 1.掌握点和圆的三种位置关系，并会解决相关问题；2.能够过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形的外心和外接圆的概念；3.理解反证法.
重点 掌握点和圆的三种位置关系,能够过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形的外心和外接圆的概念.
难点
理解反证法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 复习回顾：在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以总分295分的成绩夺得金牌，获得中国首金.看电子靶的示意图，如果子弹看成点，靶看成圆，那么猜想一下点与圆有几种位置关系呢？环节一：探究点与圆的位置关系探究１：观察图中点A，点B，点C与⊙O的位置关系？点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.探究2：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：OA r.思考：点与⊙O的位置关系和点与圆心的距离和半径大小有关吗？设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为 d，则有：点在圆内 d < r ； 点在圆上 d =r ； 点在圆外 d > r ； 思考：如果已知点到圆心的距离和圆的半径大小，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：d < r 点在圆内d = r 点在圆上d > r 点在圆外小结：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内 d < r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d > r ； 符号 读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示. 弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应环数也就越高，射击成绩越好.环节二：探究外接圆如何解决“破镜重圆”的问题？ ( http: / / www.21cnjy.com )解决问题的关键是什么？（找圆心）探究3：圆是由圆心和半径决定的，那么经过一个已知点A能画出多少个圆？经过两个点A、B能画出多少个圆？思考：圆心有什么特点？经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径，可以作出无数个圆;经过两个点A、B作圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个.思考：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆 如果能，如何确定所作圆的圆心 分析：所求的圆要经过三个点A，B，C，所以圆心到这三点的距离要相等. 因此，圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，所以，圆心在这两条垂直平分线的交点上.作法：1.分别连接AB、BC；2. 分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O ，则OA=OB=OC；3.以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆．所以点O即为所求.不在同一直线上的三个点确定一个圆强调：（1）不在同一直线的三个点 （2）只有一个圆经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．解决“破镜重圆”的问题： ( http: / / www.21cnjy.com )思考：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆的圆心如何确定？三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.环节三：反证法思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．当用直接法证较困难，可以用反证法来证明.反证法证明步骤：（1）假设命题的结论不成立，（2）经过推理，得出矛盾，（3）肯定原命题的结论正确. 思考自议创设情境，引起学生兴趣.通过观察，发现点和圆的位置关系.学生讨论解决“破镜重圆”问题的思路。教师出示问题，引导学生作图，分步骤引导学生思考“破镜重圆”问题与圆的关系。 鼓励学生通过自学探究得出结论.通过“破镜重圆”问题，激发学生好奇心，产生 ( http: / / www.21cnjy.com )探究问题的欲望，合作寻找解决问题的方法，锻炼学生的实践能力，培养学生分析为题的能力，巩固尺规作图的能力。
讲授新课 二、提炼概念1.锐角三角形的外心位于三角形内,2.直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点处,3.钝角三角形的外心位于三角形外.三、典例精讲 例1：画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.例2：用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。 ( http: / / www.21cnjy.com )证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A’B’,使∠EOB’=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A’B’ ∥CD。这样，过点O就有两条直线平行于CD，这与平行公理“过直线有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾。 在前面探究的基础上学生思考问题，进一步深入探究经过同一条直线上的三个点能否作出一个圆 通过深入探究，让学生在获得“不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论”后趁热打铁，进一步探究规律，获得数学学习的成就感。通过总结获得“反证法”的定义和应用步骤。
课堂练习 四、巩固训练1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于D点，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，则D点与圆的位置关系是（　　）A.点D在⊙C上 　B.点D在⊙C外 C.点D在⊙C内 D.无法确定A2.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中(　　)A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°.D3.判断下列说法是否正确：(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆。 ( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形。 ( )(3)经过三点一定可以确定一个圆。 ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( )√，×，×，√4.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A、C及AB的中点D与圆有怎样的位置关系？ 说明理由.证明：由题意知⊙B半径为3，所以点C在圆上.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4根据勾股定理得，AB＝5，所以点A在圆外.点D为AB中点，BD＝2.5，所以点D在圆内.5.如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).(2)求(1)中所作圆的半径.解：(1)如图.(2)连接OA,设OA=OC=xcm.∵CO⊥AB,AB=24 cm,CD=8 cm,∴AD=12 cm,在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,即x2=122+(x-8)2,解得x=13,∴此残片所在圆的半径为13cm.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ ( http: / / www.21cnjy.com )
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A
B
C
P
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