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第01讲 极值与最值问题
1．（2020春 武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
2．（2020春 临猗县校级月考）已知函数
（1）时，求的单调区间；
（2）设，，若恒成立，求的取值范围．
3．（2020春 临夏市校级月考）已知函数．
（1）若在，上是减函数，求实数的取值范围．
（2）若的最大值为6，求实数的值．
4．（2020 合肥一模）已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的值．
5．（2020 怀化模拟）已知函数．
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，讨论实数的取值．
6．已知函数．
（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（2）若当时，函数的最大值为，求证：．
7．（2020秋 天心区校级期末）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的最小值为1，求的取值范围．
8．（2020 全国卷模拟）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，，，在处取得最大值，求的取值范围．
9．（2020 广东模拟）设函数，其中．
（1）求函数的定义域（用区间表示）；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）若，求上满足条件（1）的的集合（用区间表示）．
10．（2020秋 蚌埠月考）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
11．（2020春 润州区校级期中）设函数．
（1）时，求的单调增区间；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
12．（2021春 湛江期末）已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线平行于轴，求的值；
（2）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
13．（2020 海淀区校级开学）设函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：没有最小值．
14．设，．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
15．已知函数，
（Ⅰ）若函数在内单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
16．（2020 昌平区二模）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点，处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）若在处取得极大值，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数有3个零点，求的取值范围．（只需写出结论）
17．（2020 新课标Ⅲ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
18．（2020 青岛模拟）已知函数，．
（1）若，证明：当时，；
（2）若是的极大值点，求正实数的取值范围．
19．（2020春 海南月考）已知函数，．
（Ⅰ）若，证明：当时，，当时，；
（Ⅱ）若是的极大值点，求的值．
20．（2020秋 重庆期中）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
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第01讲 极值与最值问题
参考答案与试题解析
1．（2020春 武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
【解答】解：（1）由公共切点可得：，
则，，，
则，，①
又（1），（1），，即，代入①式可得：．
（2），设
则，
令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为．
2．（2020春 临猗县校级月考）已知函数
（1）时，求的单调区间；
（2）设，，若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）时，，
，
令，解得：，，
令，解得：，
在，递增，在递减；
（2）设，，若恒成立，
只需即可，
令，
，
①时，在，递增，在递减，
（1），又，
解得：，
②时，，在，单调递增，
，
③时，在，递增，在递减，
只需（a），
解得：，
综合①②③得：的取值范围是，．
3．（2020春 临夏市校级月考）已知函数．
（1）若在，上是减函数，求实数的取值范围．
（2）若的最大值为6，求实数的值．
【解答】解：（1）函数，的定义域为．
，
在，上是减函数，
在，内恒成立，
在，内恒成立，
设，则，
，，在，内单调递增，
（1），
．
（2）由（1）可得（1），又的最大值为6，则（1），
，．
下面证明：当时，，即，也即，
设，，
在内单调递增，在内单调递减，
（1），
在内恒成立，
．
4．（2020 合肥一模）已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的值．
【解答】解：（1）的定义域为，．
，．
令，则
若△，即当时，对任意，恒成立，
即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）．
在上单调递增．
若△，即当或时，的对称轴为．
①当时，，且．
如图，任意，恒成立，即任意时，恒成立，
在上单调递增．
②当时，，且．
如图，记的两根为
当时，；
当，时，．
当时，，
当，时，．
在和，上单调递增，在，上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（2）恒成立等价于，恒成立．
令，
则恒成立等价于，（1）．
要满足式，即在时取得最大值．
．
由（1）解得．
当时，，
当时，；当时，．
当时，在上单调递增，在上单调递减，从而（1），符合题意．
所以，．
5．（2020 怀化模拟）已知函数．
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，讨论实数的取值．
【解答】解：（1）设直线与曲线相切于点，，
因为，分
则有，解得，所以；分
（2）令，，
则，且分
因为，
所以，，，
令，，
当时，因为，
所以，即，在上单调递增，当时，，不满足题意；分
当时，，且（1），又，
所以在上单调递减，存在，使得，当时，，即，
当，时，，即，
所以在单调递减，在，单调递增，在上有唯一的最小值点，
因为，要使恒成立，当且仅当，又，
所以，即，
综上所述，分
6．已知函数．
（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（2）若当时，函数的最大值为，求证：．
【解答】解：（1），设，
由题意知：在上恒成立，即恒成立．
设，
因此在上是单调增加的，
在上是单调减少的，
，故．
（2）证明：，
因为，，
故函数在上是单调递减．
又，（1），
故必，使得，
即，因为，所以．
当时，，则；
当，时，，则．
因此，函数的增区间为，减区间为，．
，
由式得，
因为，故．
法二：（2），
因为，，
故函数在上是单调递减．
又，（1），
故必，使得，
即，因为，所以．
当时，，则；
当，时，，则．
因此，函数的增区间为，减区间为，．
由得：，即且，
因为，所以，解得：，
又，
令，
所以，
即成立．
7．（2020秋 天心区校级期末）已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的最小值为1，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得，
，，．
①当时，在区间上，，的单调增区间为．
②当时，由解得，由解得，
的单调减区间为，单调增区间为．
（Ⅱ）当，由（Ⅰ）①知，的最小值为；
当时，由（Ⅰ）②知，在处取得最小值，
综上可知，若的最小值为1，则的取值范围是，．
8．（2020 全国卷模拟）设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，，，在处取得最大值，求的取值范围．
【解答】解：
（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以（2），即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间，上的最大值为时，（2），
即．
故得．
反之，当时，对任意，，，
而，故在区间，上的最大值为．
综上，的取值范围为．
9．（2020 广东模拟）设函数，其中．
（1）求函数的定义域（用区间表示）；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）若，求上满足条件（1）的的集合（用区间表示）．
【解答】解：（1）设，则等价为，
要使函数有意义，则，解得或，
即或，
则，①或，②，
，，
由①解得或，即或，
由②解得，即，
综上函数的定义域为，，，．
（2）
，
由，即，则
解得或，结合定义域知，或，
即函数的单调递增区间为：，，
同理解得单调递减区间为：，，，．
（3）由（1）得，
则，
即，
或或或，
，
，，，
（1），
且满足，，，
由（2）可知函数在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使（1）的集合为：
，，，．
10．（2020秋 蚌埠月考）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）（方法一）当时，，
所以，
令，则，
所以在，上单调递减，
因为，
所以，时，；时，，
当，时，，，所以，单调递增，
当时，，，所以，单调递减，
综上的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（方法二）当时，，
，
记，，，
则，（当且仅当时，取等号），
所以单调递减，
又，
所以当，时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）令，则，
，，
当，，时，，单调递减，
所以，时，，，
所以，即在上单调递减，
故是函数的极大值点，满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，
所以时，，
所以，这与是函数的极大值点矛盾，
综上，的取值范围为．
11．（2020春 润州区校级期中）设函数．
（1）时，求的单调增区间；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，（1分）
当时，令，得：或（2分）
当时，令，得：或（3分）
当时，恒成立．（4分）
综上，当时，单调递增区间是，，
当时，单调递增区间是，，．
当时，在上单调递增．（5分）
（2），
由（1）得，若，在处取得极小值；（6分）
，所以2不是的极小值点．（7分）
时，，，，
2是的极大值点（9分）
时，，得：，
令，得：或
2是的极大值点（11分）
综上可知，的取值范围是．（12分）
12．（2021春 湛江期末）已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线平行于轴，求的值；
（2）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（2）处的切线斜率为0，
，解得．
（2）的导数为，
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
函数在处取得极大值，不符合题意，
若，由知单调递增，无极值，不符合题意，
若，则，在单调递减，在单调递增，
可得函数在处取得极小值，符合题意，
若，则，在单调递增，在单调递减，
可得函数在处取得极大值，不符合题意．
若，则，在递增，在递减，
可得函数在处取得极大值，不符合题意．
综上所述，的范围是．
13．（2020 海淀区校级开学）设函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：没有最小值．
【解答】解：（1），
，
曲线在点，（2）处的切线斜率为0，
可得，
解得；
（2），
若则时，，递增；，，递减．
处取得极大值，不符题意；
若，且，则，递增，无极值；
若，则，在，递减；在，递增，
可得在处取得极小值；
若，则，在递减；在，，递增，
可得在处取得极大值，不符题意；
若，则，在，递增；在，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
综上可得，的范围是．
（3）证明：由（2）得：时，，
在递增，在，递减；在递增，
时，，而极小值（1），时，，
故函数的大致图象如图示：
故没有最小值，
14．设，．
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，，
所以，
当，时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递增，
，时，，函数单调递减．
所以当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为，．
（2）由，则（1），
①当时，由（1）知，在上单调递增，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，不符合题意；
②当时，，由（1）知在内单调递增，
可得当时，，当时，，
所以在内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意；
③当时，，在内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意；
④当时，，在上递增，在，递减，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值，符合题意；
综上可知，实数的取值范围为，．
15．已知函数，
（Ⅰ）若函数在内单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
在内单调递增，
在内恒成立，
即在内恒成立，即在内恒成立．
又函数在上单调递增，．
．
（Ⅱ）考查的单调性，令，即
或，即或．
单调递增，设方程的根为
①若，则不等式组的解集为和，，
此时在和，上单调递增，在上单调递减，与在处取极小值矛盾；
②若，则不等式组的解集为和，此时在上单调递增，与在处取极小值矛盾；
③若，则不等式组的解集为和，
此时在和上单调递增，在，上单调递减，满足在处取极小值，
由单调性，．
综上所述：．
16．（2020 昌平区二模）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点，处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）若在处取得极大值，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数有3个零点，求的取值范围．（只需写出结论）
【解答】（共14分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为．．
因为曲线在点，处的切线与轴平行，
所以，解得．
此时，所以的值为．．（5分）
（Ⅱ）因为，
①若，，
则当时，，，所以；
当，时，，，所以．
所以在处取得极大值．
②若，，
则当时，，，
所以．
所以不是的极大值点．
综上可知，的取值范围为．．（10分）
（Ⅲ）．．（14分）
17．（2020 新课标Ⅲ）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
【解答】（1）证明：当时，，．
，，
可得时，，时，
在递减，在递增，
，
在上单调递增，又．
当时，；当时，．
（2）解：由，得
，
令，
．
当，时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时，，
显然单调递减，
①令，解得．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
单调递减，又，
当时，，即，
当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，符合题意；
②若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递增，
，即，
在上单调递增，不符合题意；
③若，则，，
在上有唯一一个零点，设为，
当时，，单调递减，
，单调递增，
，即，
在，上单调递减，不符合题意．
综上，．
18．（2020 青岛模拟）已知函数，．
（1）若，证明：当时，；
（2）若是的极大值点，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由题知，
令，则，
若，当时，，
在上单调递增，
，
在上单调递增，
；
（2）①若，由（1）知，在上单调递增，
因此不可能是的极大值点；
②若，令，
当时，，
即在上单调递增，
又，
存在，使得，
当时，，
在上单调递减，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综上，当是的极大值点时，．
19．（2020春 海南月考）已知函数，．
（Ⅰ）若，证明：当时，，当时，；
（Ⅱ）若是的极大值点，求的值．
【解答】解：证明：当时，，定义域为，
．
当时，，
所以在上单调递增．
又因为，
所以当时，当时，．
（Ⅱ）若，由知，当时，．
这与是的极大值点矛盾．
若，，．
令，可得或．
①若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递减，与是的极大值点矛盾．
②若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，与是的极大值点矛盾．
③若，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
此时是的极大值点．
综上所述，若是的极大值点，则．
20．（2020秋 重庆期中）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，则，
当和，，，，
在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意可得，当时，，
故，在上单减，
在上函数是单调增函数，为极小值点，不合题意；
当时，由得或，因为是极大值点，
，即，故
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