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第02讲 双变量单调问题
参考答案与试题解析
1．（2019 苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为 3．
2．（2020秋 龙岩期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，所以在单调递增；
若，当时，；
当时，．
所以在单调递减，在单调递增；
证明：（2）因为存在两个极值点且，
，
所以的两个极值点，满足，
所以，不妨设，则，
则
，
要证，只需证，
设，
则，
知在单调递减，又（1），
当时，，故，
即，
所以．
3．（2020 辽宁）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
则当时，；时，．
故在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）不妨假设，而，由（Ⅰ）知在单调递减，
从而，，
等价于，，①
令，则
①等价于在单调递减，即．
从而
故的取值范围为，．（12分）
4．（2020春 平顶山期末）已知函数，．
（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：对于任意，．
【解答】解：（1）当时，，，
当时，；时，；当时，．
所以，时，取得最小值．
（2），，
时，，在单调递减．
（3）证明：时，，，，
当时，；当时，；
当时，．
即时，在和上单调递减，
在上单调递增．
由（2）知，当时，在上单调递减，
所以，当时，对任意，（b）（a），
即对任意，．
5．（2020 重庆模拟）已知函数 ．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：若，则对于任意的，，，有．
【解答】解：（1）由题意知，，
因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，
即有两个不等的正根，
所以，解得，所以的取值范围是，．（6分）
（2）证明：构造函数 ，
则．
由于，，故，即在上单调递增，
从而当时，有，
即，故；
当时，同理可证．
综上，对于任意的，，，有（12分）
6．（2020春 平顶山期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）设，证明：对任意，，．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，．
（1），（1），
曲线在，（1）处的切线方程为．
（Ⅱ），的定义域为，，
在上单调递减．
不妨假设，那么等价于，
即．
令，则．
，，．
从而在单调减少，故，即，
故对任意，，．
7．（2020 长春二模）已知函数在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
【解答】解（1）由题意得，，
点，（1）处的切线与直线平行．
又（1），即，解得．
令，
解得：，
当，解得：，
函数在上单调递增，
当，解得：，
函数在上单调递减，
在时取极小值，极小值为．（6分）
（2）由，可得，
令，则，其中，，，
又，，则，
即，
实数的取值范围是，．（12分）
8．（2020春 周口期末）已知函数．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当，时，对任意，，，有成立，求实数的取值范围
【解答】解：（1）函数的定义域为．
当时，．，
①当时，，函数在单调递增；
时，，时，，此时函数恰有一个零点．
②当时，令，，或（舍去），
时，，，时，
函数在单调递减，在，单调递增；
要使函数恰有一个零点，则，解得
实数的取值范围为：，或
（2）对任意，，，有成立，，
，成立
，时，．．
当时，，当时，，
在单调递减，在，单调递增，
（1），，（e），
，．
（b）在递增，（b），．
，
，即，
设（b），，（b）在恒成立．
（b）在单调递增，且（1），
不等式的解集为，．
实数的取值范围为，
9．（2020 浙江模拟）已知函数，．
（Ⅰ）对任意，使得是函数在区间，上的最大值，试求最大的实数．
（Ⅱ）若，对于区间，上的任意两个不相等的实数、，且，都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，在区间，上恒成立，
只需在区间，上恒成立，
，
只需（b）对一切恒成立，
记（a）（b），
只需（1），
解得，
最大的实数为2．
（Ⅱ）当，时，，
，
函数在区间，上是减函数，
，成立，
成立，
即，，
和在区间，上是减函数．
由，可得在区间，上恒成立，
，即；
由，可得在区间，上恒成立，
，即；
，
不存在．
10．（2020 福建模拟）已知函数，．
（1）若，求的零点个数；
（2）证明：，，，．
【解答】解：（1）当时，，
当时，，此时函数在单调递减，在单调递增，
又（3），故此时无零点；
当时，，此时函数在，上单调递增，
又，故此时无零点；
综上，当时，函数的零点个数为0；
（2）证明：要证：，，，，即证，时，，
①当时，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递增，
故函数在，上单调递增，
（9），（3），
；
②当时，，易知函数在，上单调递增，
（9），（3），
；
综上，，，，．
11．（2020春 呼和浩特校级月考）已知函数．
（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．
（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．
【解答】（1）函数 的定义域为，
；，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，则极大值为（1），
当 时，； 当 时，，
由，得 在区间上存在唯一零点，则函数 的图象大致如下图所示
在区间 上同时存在函数 的极值点和零点，
，解得，
艮．
（2）由（1）可知，函数 在， 上单调递减，
不妨设，由，得，
，
令，
函数 在， 上单调递减，
则 在， 上恒成立，
即 在， 上恒成立，
又因为当， 时，的最小值为，
，
故实数的取值范围为，
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第02讲 双变量单调问题
1．（2019 苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
2．（2020秋 龙岩期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，，证明：．
3．（2020 辽宁）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．
4．（2020春 平顶山期末）已知函数，．
（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：对于任意，．
5．（2020 重庆模拟）已知函数 ．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：若，则对于任意的，，，有．
6．（2020春 平顶山期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）设，证明：对任意，，．
7．（2020 长春二模）已知函数在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
8．（2020春 周口期末）已知函数．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当，时，对任意，，，有成立，求实数的取值范围
9．（2020 浙江模拟）已知函数，．
（Ⅰ）对任意，使得是函数在区间，上的最大值，试求最大的实数．
（Ⅱ）若，对于区间，上的任意两个不相等的实数、，且，都有成立，求的取值范围．
10．（2020 福建模拟）已知函数，．
（1）若，求的零点个数；
（2）证明：，，，．
11．（2020春 呼和浩特校级月考）已知函数．
（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．
（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．
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