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第05讲 极值点偏移:平方型
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．（2021 广州一模）已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
【解答】证明：（1），
（1），又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即，当时，，
故直线过定点，；
（2），是的两个零点，且，
，可得，
，
令，，
构造函数，，
令，则，则在上单调递增，
而（2），，则在上单调递增，
（2），可得，则，
即，则．
2．（2021 浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．
【解答】解：，
，时，，
，
时，增区间为：，减区间为：；
时，，
时，增区间为：；
时，，
，
时，增区间为：，减区间为：；
综上：时，增区间为：，减区间为：；
时，增区间为：；
时，增区间为：，减区间为：；
（Ⅱ）证法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；
且时，，，
函数的大致图像如下图所示：
因为时，函数有两个零点，，所以，即，
不妨设，则，
先证：，即证：，
因为，所以，又在单调递增，所以即证：
又，所以即证：，，
令函数，，
则，
因为，所以，，故，
函数在单调递增，所以，
因为，所以，，即，
所以．
（Ⅱ）证法二：因为时，函数有两个零点，，
则两个零点必为正实数，，
问题等价于有两个正实数解；
令
则，在单调递增，在单调递减，且，
令，，
则，
所以在单调递增，，
又，故，，
又，所以，
又，所以，，
又在单调递增，所以，
所以．
3．（2021秋 泉州月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．
【解答】解：（1）函数，则，
令，解得，
若，当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：因为，两边取对数，可得，
即，所以，
此时当时，存在且，，，满足；
由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，所以，，
①若，，则成立；
②若，则，
记，，
则，
所以在上单调递增，
则（1），即，
所以，
因为，所以，
又，在上单调递减，
所以，即，
又，，
以上两式左右分别相加，可得，
即，
综合①②可得，．
4．（2021 开封三模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
，此时在上单调递减；
综上可知：当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是．
（2）证明：由，，，
由于，所以．设，
故：
，
令，则，
由于，故，
则在上单调递增，
故（1），
即：所证不等式成立．
5．（2021 浙江模拟）函数．
（1）若，求函数在处的切线；
（2）若函数有两个零点，，且，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【解答】解：（1）设，
，（1），且（1），
切线方程：．
（2）函数，，
若，则单调，至多一个零点；
若，则，在上是增函数，上是减函数，
，．
证明：函数有两个零点，，且，
由极值点可得，
，
只需证，即证，即证，
即证，即证成立．
6．（2021春 渝中区校级期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．
【解答】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，得，
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意得，不妨设，
由，得，
即，且，所以，
要证，即证，
显然在上是增函数，故只需证，即证，
即证，即证，
又由于，故只需证，即证，
令，则，所以即证．
令，则，所以在上为减函数，
从而（1），即有，从而成立．
7．（2021 成都模拟）已知函数，其中，，．
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）若函数在，上恰有两个极小值点，，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，则，设，则在上恒成立，
在上单调递增，
又，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
函数的值域为；
（Ⅱ），
在上为偶函数，
函数在上恰有两个极小值点等价于函数在上恰有一个极小值点，
设，则，
①当时，，则在上单调递减，
，则，
在上单调递减，无极小值；
②当时，，则在上单调递增，
，则，
在上单调递增，无极小值；
③当时，存在，使得，且当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，又，
当，即时，，
，此时在上单调递减，无极小值；
当，即时，，则存在，使得，
且当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
函数在上恰有一个极小值点，此时是函数的极大值点，
当函数在上恰有两个极小值点时的取值范围为；
，
若，则，
由知，，
，
整理可得，
又，
，
存在，使得成立．
8．（2021 潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
【解答】解：（1），
，
令，△，
当时，△，，无极值点，
当时，令，解得：，
当，，时，，递增，
，时，，递减，
故极大值点是，极小值点是；
综上：时，无极值点，
时，极大值点是，极小值点是；
（2）由，即，
令，
，令，得，
当时，，当时，，
在递减，在，上递增，
又有2个零点，
，即，解得：，
且，两式相减得：，
设，，
，要证明，
即证明，，
，
即证明，
令，
，
在上单调递减，
（1），
即．
9．（2021 攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）有题意，
当时，，在上单增，此时显然不成立，
当时，令，得，
此时在上单减，在上单增，
（b），即，所以，．
所以的最大值为1．
（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，
的两个零点为，，则，即，，
不等式恒成立等价于，
两式相减得，
带入上式得，
令，则，，
所以函数在上单调递增，（1），得证
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第05讲 极值点偏移:平方型
1．（2021 广州一模）已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
2．（2021 浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．
3．（2021秋 泉州月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．
4．（2021 开封三模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：．
5．（2021 浙江模拟）函数．
（1）若，求函数在处的切线；
（2）若函数有两个零点，，且，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
6．（2021春 渝中区校级期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．
7．（2021 成都模拟）已知函数，其中，，．
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）若函数在，上恰有两个极小值点，，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8．（2021 潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
9．（2021 攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：
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