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第07讲 极值点偏移:商型
1．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．
2．（2021 新疆模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．
3．（2021春 湖北期末）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
4．（2021 宁德三模）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
5．（2021 新乡三模）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，，．
6．（2021春 海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
7．（2021春 和平区期末）设，．
（1）求的单调区间；
（2）已知函数有两个零点，，且．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：随着的减小而增大．
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第07讲 极值点偏移:商型
参考答案与试题解析
一．解答题（共7小题）
1．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．
【解答】证明：，
由，得，由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，且为最大值等于．
由函数有两个相异零点、，可得，
即．
（a），
，
，
即，
则，
，，
．
2．（2021 新疆模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．
【解答】解：（1）当时，，，
，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
（2），
因为，为函数的两个极值点，
所以，是方程的两个根，
所以，，可得，
因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，
所以为增函数，所以，
令，则，
令，
，所以在，上单调递减，
所以的最大值为（3）．
3．（2021春 湖北期末）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，设，则，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增．
（2）依题意，，则，
两式相除得，，设，
则，，，，，
，
设，
则，
设，则，
所以在单调递增，
则（1），
，则在单调递增，
又，且
，
，，即的最大值为．
4．（2021 宁德三模）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，设，则，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）依题意，，则，
两式相除得，，设，则，，，
，
，
设，则，
设，则，
在单调递增，则（1），
，则在单调递增，
又，即，（3），
，，即的最大值为3．
5．（2021 新乡三模）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，，．
【解答】解：（1），，，
，
令，解得；令，解得．
函数的单调递减区间，单调递增区间为，．
（2）证明：，，，要证明．
即证明：．
即证明：．
令，，，（1）．
，
函数在，上单调递减，
（1），
，
即：，，，成立．
6．（2021春 海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
令，△，
若，则△，恒成立，即，
则在上单调递减，
若，令，解得：，，
故时，，即，
，时，，即，
，时，，，
故在递减，在，递增，在，递减，
时，令，解得：，，
故时，，即，在递减，
综上：时，在单调递减，
时，在递减，在，递增，在，递减．
（2）若存在两个极值点，，且，
则，，由，可得，
则，
令，
，
，且与在上符号一致，
，
所以单调递增，所以（1），即，
所以，
故的取值范围是．
7．（2021春 和平区期末）设，．
（1）求的单调区间；
（2）已知函数有两个零点，，且．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：随着的减小而增大．
【解答】解：（1），
求导可得，
①当时，，即的单调增区间为，
②当时，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，的单调增区间为，，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），
，
下面分两种情况讨论：
①时，在上恒成立，在上是增函数，不合题意，
②时，由，得，当变化时，、的变化情况如下表：
0
递增 极大值 递减
的单调增区间是，减区间是，
函数有两个零点等价于如下条件同时成立：
①，
②存在，满足，
③存在，满足，
由，即，解得，
取，满足，且，
取，满足，且，
的取值范围是．
证明：，
，
设，
求导可得，
在上单调递增，在单调递减，
当，时，，当时，，
由已知，满足，，
，及的单调性，
，，
对于任意，设，，其中，
，其中，
在上单调递增，
又，即，同理可得，
，
，
故随着的减小而增大．即得证
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