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第08讲 双变量不等式:转化为单变量问题
参考答案与试题解析
1．（2021 宝坻区模拟）已知，．
（1）求在，（1）处的切线方程及极值；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．
（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
【解答】解：（1），定义域是，
，（1），（1），
故切线方程是：，即；
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
（3），无极大值；
（2）若不等式对任意成立，
则，，
令，则，在递增，
且（3），（4），故存在，使得，即，
故在递减，在，递增，且，
故的最大整数解为9；
（3）证明：，
，得：，
当时，，，时，，
故在递减，在，递增，
而要使有2个零点，要满足，
即，解得：，
，，令，由，
，即，
，而要证，
只需证明，即证，即证，
由，，只需证明，
令，则，
，
故在递增，（1），
故在递增，（1），
．
2．（2021春 荔湾区校级期中）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求函数图象在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，则，
故所求切线的斜率（1），
又（1），
切线方程为，即；
（Ⅱ），令，则，
当时，，函数在单调递增，无极值点；
当时，函数在上有两个极值点，，则，
由可得，，由恒成立，即恒成立，
，
令，则，
由知，，故，
在单调递减，即，即，
实数的取值范围为．
3．（2021春 渝中区校级期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．
【解答】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，得，
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意得，不妨设，
由，得，
即，且，所以，
要证，即证，
显然在上是增函数，故只需证，即证，
即证，即证，
又由于，故只需证，即证，
令，则，所以即证．
令，则，所以在上为减函数，
从而（1），即有，从而成立．
4．（2021春 海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
令，△，
若，则△，恒成立，即，
则在上单调递减，
若，令，解得：，，
故时，，即，
，时，，即，
，时，，，
故在递减，在，递增，在，递减，
时，令，解得：，，
故时，，即，在递减，
综上：时，在单调递减，
时，在递减，在，递增，在，递减．
（2）若存在两个极值点，，且，
则，，由，可得，
则，
令，
，
，且与在上符号一致，
，
所以单调递增，所以（1），即，
所以，
故的取值范围是．
5．（2021春 江宁区校级期中）已知函数，．
（1）当时，
①求的极值；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
【解答】解：（1）①时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故的极小值是，没有极大值；
②对任意都有，
即恒成立，由，故，故，
由①知在，单调递增，
故，可得，即，
当时，的最小值是（e），故的最大值是；
（2）证明：要证，只需证明即可，
由题意，是方程的两个不相等的实数根，
，，消去，
整理得：，
不妨设，令，则，
故只需证明当时，，即证明，
设，则，
于是在单调递增，从而（1），
故，故．
6．（2021 德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，，
显然递减，且（1），
故当时，，时，，
故在递增，在递减；
（2）证明：，
，
由题意知有2个不相等的实数根，
即有2个不相等的实数根，，
则，令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1），而时，，
故的取值范围是，，
由，得，
故
，
令，则，
，，
故不等式只要在时成立，
令，
，，
故在上单调递增，即，
故在上单调递减，即，
故原不等式成立．
7．（2021 潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
【解答】解：（1），
，
令，△，
当时，△，，无极值点，
当时，令，解得：，
当，，时，，递增，
，时，，递减，
故极大值点是，极小值点是；
综上：时，无极值点，
时，极大值点是，极小值点是；
（2）由，即，
令，
，令，得，
当时，，当时，，
在递减，在，上递增，
又有2个零点，
，即，解得：，
且，两式相减得：，
设，，
，要证明，
即证明，，
，
即证明，
令，
，
在上单调递减，
（1），
即．
8．（2021 浙江模拟）已知，函数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，，在上递增，
又，故符合题意，
当时，在递减，在递增，
，故，
又，
，解得：，
当时，，在上单调递增，
当时，，，
，不符合题意，
综上：．
（2）证明：令，则且，
记且，由于，
故在和上递减，在上递增，
且当时，，当时，，当时，，当时，，
根据题意可知，，且，
先证，即证，即证，显然成立；
再证，
，，
只需证，
，
，
只需证，即证，
又，
只需证，亦即，即，
由知，，
，故，即得证．
9．（2021 新课改卷模拟）已知函数有两个不相等的极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数两个不相等的极值点分别为，，求证：
；
．
【解答】解：（1）由，得，
令，得，根据题意直线和曲线有2个不同交点，
由于，故时，，递增，时，，递减，
（1），
（1）；
设是区间上的任意1个常数，
令，则，，
当时，，递增，
当时，（3），递增，
当时，（4），即，
又当时，，故当，时，，即，
由于时，，时，，
故实数的取值范围是；
（2）证明：根据，不妨设，由（1）知，
证明不等式，即证，
设，
当时，，
在为增函数，在为减函数，
（1），（1），取时即得所证不等式；
由（1）得，，所以，，
结合可知，即，且，
，即得证．
10．（2021 福田区校级模拟）已知函数．
（1）若单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
【解答】解：（1）由题意知对任意，
恒成立，
即对任意，恒成立，
易知函数在上单调递减，
故，，
故，即的取值范围是，．
（2），
由题意知，是的两个根，
即，是方程的两个根，
则，解得：，
且，，则，
要证，只需证，
即证，，
，，
从而，
令，则，，，
设函数，，
则，
设，，，
则，
易知存在，，使得，
且当，时，，当，时，，
故函数在，递减，在，递增，
故，故在，上单调递减，
从而，
故，原命题成立．
11．（2021 攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）有题意，
当时，，在上单增，此时显然不成立，
当时，令，得，
此时在上单减，在上单增，
（b），即，所以，．
所以的最大值为1．
（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，
的两个零点为，，则，即，，
不等式恒成立等价于，
两式相减得，
带入上式得，
令，则，，
所以函数在上单调递增，（1），得证．
12．（2021 天津二模）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，求证：，，，恒有．
（Ⅲ）函数有两个零点，，，求证．
【解答】解：（Ⅰ），
因为时，由，解得，由，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅱ）证明：由题意，，，，
，因为，，
所以，在，单调递减，
，只需即可，
，，
令，，
由已知，所以，在单调递增且（1），
所以，所以，单调递增，，，
所以恒有．
证明：由题意，有两个零点，，，
则有①，②，
由②①，得，
由（Ⅰ）可知在区间上单调递增，
要证，只需证，因为，
即需证，只需证，
整理得：，
即证，令，不妨设，只需证，
易得，所以函数在区间上单调递增，
所以（1），故有．
13．（2021春 南海区期末）已知函数．
（1）若单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
【解答】（1）解：的定义域为，．
若单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立．
在上单调递减，于是．
所以实数的取值范围为，．
（2）证明：，．
依题意可得，是方程的两个根，于是，且．
要证，只需证，
即证．，
因为，所以，
从而．
令，，则，
设，则．令，
解得（舍去．
由得，由可得，
于是在上单调递增，在，上单调递减，即在上单调递增，在，上单调递减．
而，（1），于是在上，
因此在上单调递增，从而．
综上所述，，原命题获证．
14．（2018 成都模拟）已知函数，其中，．
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，．
（1）当，即时，，
在上单调递减；
（2）当，即时，．
①当时，且，，
在上单调递增；
②当时，，
，
当变化时，，的变化情况如下表：
，
0
单调递减 极小值 单调递增
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，
（Ⅱ）证明：由知，当或时，至多有1个零点，与题意不符，舍去；
当时，函数在上单调递减，
在，上单调递增，且（1），
下面由零点存在性定理判断另一个根的存在：
首先，，解得，即或．
当，此时，有，
又在，上单调递增，故，
又，
存在唯一的，，使得，
则不等式等价于，
即，
又，有，
只需证明，即证明成立，
令，则，
在，上单调递增，故（1）．
原不等式成立．
当时，时，有，
又在上为减函数，（1），
又，有唯一的，使得，
则不等式等价于，
即，
又，有，
只需证明，即证明成立，
令，则．
在区间，上单调递增，即当时，有（1）．
原不等式成立．
综上，当函数恰有两个零点，，原不等式成立．
15．（2020 海东市四模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，方程恰有两个不相等的实数根，，证明：．
【解答】（1）解：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，令，得．
在上单调递增，在，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由，得．
令，则．
即，．
不妨设，要证，
只需证，即证．
令，（c），
（c）．
（c）在上单调递减，则（c）（1）．
故成立
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第08讲 双变量不等式:转化为单变量问题
1．（2021 宝坻区模拟）已知，．
（1）求在，（1）处的切线方程及极值；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．
（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
2．（2021春 荔湾区校级期中）已知函数．
（Ⅰ）当时，试求函数图象在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．
3．（2021春 渝中区校级期中）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．
4．（2021春 海曙区校级期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
5．（2021春 江宁区校级期中）已知函数，．
（1）当时，
①求的极值；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
6．（2021 德阳模拟）设函数．
（1）当时，求的单调区间是的导数）；
（2）若有两个极值点、，证明：．
7．（2021 潮州二模）已知函数，．
（1）讨论函数的极值点；
（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．
8．（2021 浙江模拟）已知，函数．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．
9．（2021 新课改卷模拟）已知函数有两个不相等的极值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数两个不相等的极值点分别为，，求证：
；
．
10．（2021 福田区校级模拟）已知函数．
（1）若单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
11．（2021 攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．
12．（2021 天津二模）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，求证：，，，恒有．
（Ⅲ）函数有两个零点，，，求证．
13．（2021春 南海区期末）已知函数．
（1）若单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
14．（2018 成都模拟）已知函数，其中，．
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
15．（2020 海东市四模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，方程恰有两个不相等的实数根，，证明：
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