中小学教育资源及组卷应用平台
第09讲 三极值点问题
参考答案与试题解析
1．（2021秋 襄城区校级月考）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，求证：．
【解答】解：（1）时，，即成立，
令，则，
，
①，，在上是增函数，
时，（1），满足题意；
②时，令，解得，，
，，在上是减函数，
，（1），不合题意，舍去，
综上可得，；
（2）由题，，
对于函数，有，
函数在上单调递减，在，上单调递增
函数有3个极值点，
从而，所以，
当时，（a），（1），
函数的递增区间有，和，，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
当时，，是函数的两个零点；
即有，消去有
令，有零点，且
函数在上递减，在，上递增
证明
，即证
构造函数，则
只需要证明，单调递减即可．
而，，
在，上单调递增，
当时，．
2．（2021 市中区校级模拟）已知函数，且函数在处取到极值．
（1）求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：．
【解答】解：（1），，
函数在处取到极值，（1），即．
则，（1），
曲线在，（1）处的切线方程为；
（2），
函数的定义域为且，
，
令，
，在上单调递减，在，上单调递增；
（1），（2），
在内存在零点，
设，，
当时，即，或，函数单调递增，
当时，即，函数单调递减，
当时，函数有极大值，
当时，是极大值点；
是的最小值；
有三个极值点，
，得．
的取值范围为，
当时，，（1），
；
即，是函数的两个零点．
，消去得；
令，，的零点为，且．
在上递减，在，上递增．
要证明，即证，等价于证明，即．
，即证．
构造函数，则；
只要证明在，上单调递减，
函数在，单调递减；
增大时，减小，增大，减小，
在，上是减函数．
在，上是减函数．
当时，．
即．
3．（2021 台州一模）已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
【解答】解：（1）当时，，，
，
当时，在和上，单调递减，
当时，在上，单调递增，
（2）①，
首先，令，则应有两个既不等于0也不等于的根，
求导可得，，
此时，有唯一的根，并且是的极小值点，
要使有两根，只要即可，（因为当和时，
由，得，
又由，得，
反过来，若时，则，的两根中，一个大于，另一个小于，
于是在定义域中，连同，共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，的正负变号，它们就是的三个极值点，
综上，的取值范围是；
②证明由①可知有三个极值点，，中，两个是的两根（不妨设为，，其中，另一个为，
要证：．
只要证：，
即只要证明，
因为在上单调递减，其中，
故只要证，其中，
只要证，
而
只要证，
由，得，由此代入上述不等式，只要证明，
只要证，
令，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，
于是证，
即：．
4．（2021 辽阳二模）已知函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若有3个极值点，，（其中，证明：．
【解答】（1）解：，
令，，故在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，且当时，．
当时，有2个极值点，当时，只有1个极值点，
当时，有3个极值点．
（2）证明：因为有3个极值点，，（其中，所以，且，即得，
要证，即，
由，得，
设，，，所以，
联立得所以，
所以要证，只需，，
则有，即，则需证明．
令，，即需证明．
因为恒成立，
所以在上是单调递减函数，则有，
即成立，所以，即得以证明．
5．（2021春 兴义市校级月考）已知函数．
求函数在区间，上的最值；
若（其中为常数），且当时，设函数的3个极值点为，，，且，证明：，并讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）
【解答】解：（Ⅰ），
令，解得，列表：
， ，
0
减 极小值 增
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增．
，（e），
函数的最大值为，最小值为；
（Ⅱ）由题意：，
，
令，，
可以得到函数在上单调递减，在上单调递增；
因为函数的3个极值点，
又，
，（1），
从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，
因为3个极值点为，，，且，
所以，所以，
故，
函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
6．（2021 潍坊一模）函数．
（1）当，时．求函数的单调区间；
（2）若是的极大值点．
当时，求的取值范围；
当为定值时．设，，（其中是的3个极值点，问：是否存在实数，可找到实数，使得，，，成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在．说明理由．
【解答】解：（1），时：
，
，
令，解得：或，
令，解得：或，
在，递减，在，，，递增；
（2）解：时，，，
令，△，设是的两个根，
①当或时，则不是极值点，不合题意；
②当且时，由于是的极大值点，故．，即，．
解：，
令，则△，
于是，假设，是的两个实根，且．
由可知，必有，且、、是的三个极值点，
则，，
假设存在及满足题意，
①当，，等差时，即时，
则或，
于是，即．
此时或，
②当时，则或
若，则，
于是，
即．
两边平方得，，于是
此时，
此时．
②若，则，
于是，
即
两边平方得，，于是，
此时，此时，
综上所述，存在满足题意，
当时，，
时，，
时，．
7．（2021春 扬州校级月考）已知函数，．
（1）记，求在，的最大值；
（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，，，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）．
【解答】解：（1），
，
令，得，，
，
列表如下：
，
0
递减 极小值 递增
易知（1），（2）
而（1）（2），
所以当时，（1），
当时，（2）；
（2）（ⅰ），
令，，
又在上单调减，在上单调增，
所以，
因为函数有3个极值点，所以所以，
所以当时，，（1），
从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，
又，所以，，，
即，，故；
（ⅱ）当时，，，
则，故函数单调减；
当，时，，，
则，故函数单调增；
当，时，，，
则，故函数单调减；
当时，，，
则，故函数单调减；
当，时，，，
则，故函数单调增；
综上，函数的单调递增区间是，，，
单调递减区间是，，，．
8．（2021 德阳模拟）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，求函数的单调减区间和极值点；
（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，
①求的取值范围；
②证明：当时，．
【解答】解：（1）时，，；
时，；时，；时，；
函数的单调递减区间为，，，极值点为；
（2）①；
令，；
在上单调递减，在上单调递增；
是的最小值；
有三个极值点；
；
；
的取值范围为；
②证明：当时，（a），（1）；
；
即，是函数的两个零点；
；
消去得；
令，，的零点为，且；
在上递减，在上递增；
要证明；
，即证；
构造函数，则；
只要证明上单调递减；
在单调递减；
增大时，减小，增大，减小；
在，上是减函数；
在，上是减函数；
当时，．
9．设函数．
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有3个极值点，，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【解答】解：的定义域是，求导得，
令，得，
注意到（1）（1），
（1）证明：当时，，当且仅当时，等号成立，
所以在上单调递减，
所以在上（1），
在上，（1），
所以在上单调递增，在上单调递减，
于是（1），
（2）（ⅰ）①若，则在上单调递减，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
有且只有1个极值点，不合题意，
②若，因为二次函数的判别式△，
所以恒成立，在上单调递减，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，有且仅有1个极值点，不合题意，
③若，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
有且仅有1个极值点，不合题意，
④若，令，得，
记，，
结合二次函数的图象知：
在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以（1），（1），
当时，因为，所以，
取，则，，
则，
由零点的存在性定理，唯一，，
所以在上有且仅有一个变号零点，
当时，因为，
且在，上单调递减，
所以在上有且仅有一个变号零点，
此时，，是的极值点，
综上所述，实数的取值范围是．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知恰有3个极值点当且仅当，
此时有，
设，则只需证明，
求导得，
所以在上单调递增，
注意得到，
所以，
所以只需证明，
实际上，上式等价于，成立，
所以原不等式得证．
10．已知函数在处的切线方程为．
求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）由，可得，
，
所以（e），
所以，解得，
又因为在曲线上，
所以，解得，
所以函数的解析式为：．
（Ⅱ），
，
令，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为函数有3个极值点，
所以，
所以，
所以当时，
，
（1），
从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，
又，所以，，，
即，，
故
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第09讲 三极值点问题
1．（2021秋 襄城区校级月考）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，求证：．
2．（2021 市中区校级模拟）已知函数，且函数在处取到极值．
（1）求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：．
3．（2021 台州一模）已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）若有三个极值点，，．
①求的取值范围；
②求证：．
4．（2021 辽阳二模）已知函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若有3个极值点，，（其中，证明：．
5．（2021春 兴义市校级月考）已知函数．
求函数在区间，上的最值；
若（其中为常数），且当时，设函数的3个极值点为，，，且，证明：，并讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）
6．（2021 潍坊一模）函数．
（1）当，时．求函数的单调区间；
（2）若是的极大值点．
当时，求的取值范围；
当为定值时．设，，（其中是的3个极值点，问：是否存在实数，可找到实数，使得，，，成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在．说明理由．
7．（2021春 扬州校级月考）已知函数，．
（1）记，求在，的最大值；
（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，，，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）讨论函数的单调区间（用，，表示单调区间）．
8．（2021 德阳模拟）已知函数（其中为常数）．
（1）当时，求函数的单调减区间和极值点；
（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，
①求的取值范围；
②证明：当时，．
9．设函数．
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有3个极值点，，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
10．已知函数在处的切线方程为．
求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
