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第10讲 双变量不等式:中点型
1．（2021 呼和浩特二模）已知函数．
①讨论的单调性；
②设，证明：当时，；
③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
2．（2021秋 山西期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．
3．（2021 沙坪坝区校级开学）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．
4．（2021秋 巴南区校级月考）已知函数为常数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．
5．（2021春 瑶海区月考）已知函数，．
（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若，为的两个极值点，证明：．
6．（2021 宜春模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，，求实数的取值范围．
7．（2021 湖北模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式，并证明：．
（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）．
8．（2021 辽宁模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为，，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点．求证．
9．（2021秋 重庆月考）已知函数；
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，不等式恒成立；若函数的图象与轴交于，，，两点，线段中点的横坐标为，求证：．
10．（2021春 江西月考）已知函数，
（1）若函数的极小值是，求的值；
（2）设，，，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，，直线的斜率为．证明：．
11．（2021秋 张家口期末）已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，，为函数图象上不同的两点，的中点为，．
求证：．
12．（2021 达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
13．（2021 达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
14．（2021秋 上杭县校级月考）已知函数，又函数两个极值点为，满足；，恰为的零点．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：．
15．（2016秋 岳麓区校级月考）设函数的图象在点，处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）设函数的两个极值点，恰为的零点．当时，求的最小值．
16．（2021 武清区校级模拟）已知函数，．
（Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；．
17．（2021 广陵区校级模拟）已知函数．
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，，若在区间内有两个不等实根，，证明：．
18．证明不等式：
（1）当，时，求证：；
（2）已知函数，设，，，，且，证明：．
19．（2016秋 中山市校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设，若函数存在两个零点，，且，问：函数在，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由
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第10讲 双变量不等式:中点型
参考答案与试题解析
1．（2021 呼和浩特二模）已知函数．
①讨论的单调性；
②设，证明：当时，；
③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
【解答】解：①函数的定义域为，
，
当时，则由，得，
当时，，当，时，，
在单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，
在单调递增；
②设函数，
则，
，
当时，，而，
，
故当时，；
③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且，
不妨设，，，，，则，
由②得，，
又在，上单调递减，
，于是，
由①知，．
2．（2021秋 山西期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．
【解答】解：（1），
①当时，，，单调递增；
②当时，，，单调递减；
，，单调递增，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，则（a）．
不妨设，
要证，即证，即证，即证．
因为在单调递增，即证，
因为，所以即证，即证，
令
．
．
当，时，，单调递减，又，
所以，时，，即，
即，
又，所以，所以．
3．（2021 沙坪坝区校级开学）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
又，
对于方程，△，
①若△，即时，则恒成立，
所以在上单调递增；
②若△，即时，令，解得，或，
当和，时，，
当，时，，
所以在和，上单调递增，
在，上单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，；
（2）由（1）可知，当时，，，
又，
故，
由，
可得，
两式相减，可得，
所以，
令，
所以，
则，
所以在上单调递减，
由的取值范围为，，可得的取值范围为，
所以，
又因为，
故实数的取值范围是．
4．（2021秋 巴南区校级月考）已知函数为常数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．
【解答】解：（1）依题意，得，
，由，解得，即当时，，单调递增，
由，解得，即当时，，单调递减，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为，．
（2），
的两根为，，
即方程的两根为，，
，△，
，，
，
，
令，
由韦达定理，得，
，
，，
或，，
令，，
在上递减，
，
5．（2021春 瑶海区月考）已知函数，．
（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若，为的两个极值点，证明：．
【解答】解：（1），，
若存在两个极值点，
则在上有两个根，
所以有两个根，
即与，有两个交点，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以时，，
所以，
所以的取值范围为．
（2）证明：由（1）知，且，，
所以
，
所以只需证明，
令，故，原不等式等价于对成立，
令，
，
所以单调递减，
则有（1）．
6．（2021 宜春模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，当且仅当，时，，
若，令得，，
当，，时，，
当，时，，
故当时，单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，单调递减区间为，，，
单调递增区间为，．
（2）由（1）知：且，，
又，
，
由得：
，
，
令，，
，在上单调递减，
由的取值范围是，，得的取值范围是，，
，，
，，
，实数的取值范围是，．
7．（2021 湖北模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式，并证明：．
（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）．
【解答】解：（1）由题意得：（1），即，
又，即（1），则，解得：，
则．
令，，
令，解得：，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，则．
（2）要证（1）成立，只需证：，
即证：，即证：，
只需证：，
不妨设，即证：，
要证，只需证：，
令，则，在上为增函数，
，即成立；
要证，只需证：，
令，则，
在上为减函数，，即成立．
，成立．（1）成立．
8．（2021 辽宁模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为，，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点．求证．
【解答】解：（1）由于的定义域为，．
对于方程，其判别式△．
当，即时，恒成立，故在内单调递增．
当，即，方程恰有两个不相等是实根，
令，得或，此时单调递增；
令，得，此时单调递减．
综上所述，当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，
在，内单调递增．
（2）证明：由（1）知，，
所以的两根，即为方程的两根．
因为，所以△，，．
又因为，为的零点，
所以，，两式相减得，
得．而，
所以
．
令，由得，
因为，两边同时除以，得，
因为，故，解得或，所以．
设，所以，
则在上是减函数，
所以，
即的最小值为．
所以．
9．（2021秋 重庆月考）已知函数；
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，不等式恒成立；若函数的图象与轴交于，，，两点，线段中点的横坐标为，求证：．
【解答】解：（1）的定义域为，；
若，则，所以在单调增加，
若，则由得 ，且当时，，当时，；
即在单调增加，在单调减少；
（2）证明：由（1）可知当时，在单调增加，在单调减少．
与轴有2个交点，则，且，中一个大于，一个小于，
设，，则，
因为，恒成立，
所以，即，
又，所以，
因为，，又在单调递减，可知即，
，则，．
故成立．
10．（2021春 江西月考）已知函数，
（1）若函数的极小值是，求的值；
（2）设，，，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，，直线的斜率为．证明：．
【解答】解：（1）函数，
所以的定义域为，
且，（1分）
当时，恒大于0，在上递增，无极值；（2分）
当时，令，解得，
则时，，在上单调递减，
时，，在单调递增；
所以在的极小值为，解得；（4分）
经检验，使得函数的极小值为成立；（5分）
（2）证明：由已知可得，
又，所以；
要证，即证；（6分）
不妨设，即证，
即证；（8分）
设，即证，
即证，其中；（9分）
设，
则；
所以在上单调递增，
因此（1），
得证成立．（12分）
11．（2021秋 张家口期末）已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，，，为函数图象上不同的两点，的中点为，．
求证：．
【解答】解：（Ⅰ），，
当时，，，，递减，
，，递增；
的单调递减区间为0，，单调递增区间为．
（Ⅱ）不妨设．
要证明．即证明．
即证明，
设
及证明，
，
函数在单调递增，而（1），
（1）．
在上恒成立．
成立．
12．（2021 达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
【解答】解：（1）由函数得，，且
，．
由不等式得，
由不等式得，或．
的单调增区间是，，的单调减区间是，，，．
证明（2）曲线在，、，处的切线平行，
，
即
，
，
即．
，
即
．
．
由（1）知在，上递增，在区间，递减，且，
当时，，
，
设，，
，
令，
，即，
，
即，
函数在，上单调递增，
，
函数在，上单调递增，
当时，（1），
．
13．（2021 达州模拟）已知，是自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．
【解答】解：（1）由函数得，，且．
，．
由不等式得，
由不等式得，或．
的单调增区间是，，的单调减区间是，，，．
证明（2）曲线在，、，处的切线平行，
，
即，
，
，
即．
，
即
．
．
14．（2021秋 上杭县校级月考）已知函数，又函数两个极值点为，满足；，恰为的零点．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：．
【解答】解：（1），，
令，或，
，，，，
当或时，，当时，，
在，，上单调递减，在，上单调递增；
（2），则，
由题意，得，，
结合，，恰为的零点，可得，
当时，，则，
，，
两式相减得，
令，则，
，
设，则，
在上单调递减，，
．
15．（2016秋 岳麓区校级月考）设函数的图象在点，处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）设函数的两个极值点，恰为的零点．当时，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得．
函数为偶函数，
，
恒成立，
．
，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
，
．
由题意得△，，
又，
解得．
，恰为的零点，
代入，两式相减得，．
又，从而．
设，
则，记为．
在，上单调递减．
．
故的最小值为．
16．（2021 武清区校级模拟）已知函数，．
（Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；．
【解答】解：（Ⅰ），
由为的极值点，
所以（1），解得，
，
由，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以（1），
（1），
所以过点的切线的方程为．
（Ⅱ），
则，
当时，，
所以在上单调递增，
令，
△，，对称轴方程为，
当时，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
当时，△，
有两个不等实数根，
，，
所以得出，
所以得出，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅲ）证明：
，
所以，
又，
所以，
即，
则
由，则，设，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以（1），
所以恒成立，
即
由，
则，
由，则在上单调递增，
所以，可得成立．
17．（2021 广陵区校级模拟）已知函数．
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，，若在区间内有两个不等实根，，证明：．
【解答】解：（1），，
，
，
，
令，
解得或，
①当时，即时，
若，解得，或，函数单调递增，
若，解得，函数单调递减，
，
，
②当时，即时，
若，解得，或，函数单调递增，
若，解得，函数单调递减，
，
，
③当时，即，恒成立，
在单调递增，
函数无极值，
（2）证明：设，
记函数在区间内的零点为，由，当时，，而，故；
，当时，，存在零点，不然有：，
故时，；当时，；
而此得到，
显然：当时，恒大于0，是单增函数．
当时，恒小于0，是单减函数．
在有两个不等实根，，则，，，
显然：当时，．
要证明，即可证明，而在时是单减函数．故证．
又由，即可证：．即，（构造思想）
令，由．其中，
那么：，
记，则，当时，；当时，；
故；
而；故，而，从而有：；
因此：，即单增，从而时，．
即成立．
故得：．
18．证明不等式：
（1）当，时，求证：；
（2）已知函数，设，，，，且，证明：．
【解答】证明：（1）（1）当，时，求证：；
构造函数，则，，，，
在区间，上单调递增，，；
构造函数，则，
在区间，上单调递增，，；
；
（2）不妨设，
，
即，
，
两边同除以得，
令，则，即证：，
令，
，
令，，
，在上单调递减，
，即，即恒成立，
在上是减函数，所以（1），
得证，
成立．
19．（2016秋 中山市校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设，若函数存在两个零点，，且，问：函数在，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知，，
令，得，
在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（1），；
（2），
，定义域：，
在成立．
的对称轴：，
当时，只要最小值即可；
当时，则，
解得，
综上；
（3）假设函数在，处的切线平行于轴，
，依题意，；，
相减得，
，，
又，
所以，
设，，
设，
所以函数在上单调递增，
因此，当时，，
即
也就是，
所以无解．
所以在，处的切线不能平行于轴
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