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第13讲 双变量不等式:主元法
参考答案与试题解析
1．（2021春 哈密市校级月考）已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
【解答】解：（1） （1分）
令得：，
，；
令得：；（2分）
在，上为增函数；在，上为减函数．（4分）
（2）由（1）知：当时，有（b），（6分）
，即：，．（8分）
（3）将（a）（b）变形为：
（a）（b）（7分）
即只证：（a）
设函数（8分）
，
令，得：．
在，上单调递增；在，上单调递减；
的最小值为：，即总有：．（12分）
，即：，（13分）
令，，则
（a）（b），
（a）（b）成立．（14分）
2．（2021秋 广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
其导数为．
由或，
设，，
当时，；当时，．
即在区间上递增，在区间上递减，
，
又当时，，当时，且恒成立．
当或时，方程无根，函数只有一个极值点．
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点．
当时，方程有两个根、且，，
函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数有、1、三个极值点．
综上所述，当或时，函数只有一个极值点．
（Ⅱ）依题意得，令，则对，都有成立．
，当时，函数在上单调递增，
注意到，
若，，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，
函数在区间上单调递增，在上单调递减，
，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
，
函数在上递增，在上递减，
，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为．
3．（2021 微山县校级二模）设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为
（Ⅱ）
令，则
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，恒成立；
故实数的取值范围为：
构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故（b）（a），即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故（b）（a）即：
综上，．
4．（2021 泉州二模）已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，．
，，
由，，得，
令，则，
，在单调递增，
又，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
当且仅当时等号成立，
方程有且仅有唯一解，实数的值为0．
（2）令（b），，
则，
当时，，单调递增．
当时，，单调递减，
故（b）
，，
令，，
则，
若时，，在单调递增，
，满足题意；
若时，，满足题意；
若时，，在单调递减，
，不满足题意．
综上，正实数的取值范围是，．
5．（2021 浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【解答】解：（1）当时，，，
，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1），得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
当，时，，
则，
记，，
则
，
列表讨论：
， 1
0
单调递减 极小值（1） 单调递增
（1），
．
当时，，
令，，，
则，
故在，上单调递增，，
由得（1），
，，
由知对任意，，，，，
即对任意，，均有，
综上所述，所求的的取值范围是，．
6．（2021 江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
【解答】解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．
函数在上单调递增，
．
7．（2021春 湖南期中）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数，证明：当时，恒成立．
【解答】解：（1），（1分）
当时，，的单调递增区间为，（2分）
当时，令，令，（3分）
的单调递增区间为，单调递减区间为．（4分）
（2）．
方法一：直接求导，令，（5分）
，令，令，
，（6分）
，，（7分）
令，（8分）
下面证明，
即证，令，（9分）
则，在递减，
，，（11分）
当时，恒成立．（12分）
方法二：，要证，只需证，（5分）
令，（6分）
令，（7分）
，，（8分）
证明方式，，，，（9分）
，（10分），
，（11分）
当时，恒成立．（12分）
证明方式下面只需证明，令，
（a）在递减，（10分）
（a）（1），，（11分）
当时，恒成立．（12分）
8．（2021 天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
【解答】解：当时，，
故，
（1），
（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，
当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为（1），无极大值
（Ⅱ）证明：由，则，
对任意的，，，且，令，，
则，
，
，①
令，，
当时，，
在单调递增，
当，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知当时，（1）
即，③，
由①②③可得，
当时，对任意的，，，且，有．
9．（2021 新课标模拟）设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明当时，；
（3）设，证明当时，．
【解答】解：（1）函数的导数为，，
由，可得；由，可得．
即有的增区间为；减区间为；
（2）证明：当时，，即为．
由（1）可得在递减，
可得（1），即有；
设，，，
当时，，可得递增，即有（1），
即有，则原不等式成立；
（3）证明：设，
则需要证明：当时，；
，，
在单调递减，而，（1），
由（1）中的单调性，可得，由（2）可得（1），
，使得，即时，，时，；
即在递增，在递减；
又因为：（1），
时成立，不等式得证；
即，当时，
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第13讲 双变量不等式:主元法
1．（2021春 哈密市校级月考）已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
2．（2021秋 广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
3．（2021 微山县校级二模）设函数．
（Ⅰ） 求的极值；
（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，证明：．
4．（2021 泉州二模）已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．
5．（2021 浙江）已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
6．（2021 江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
7．（2021春 湖南期中）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数，证明：当时，恒成立．
8．（2021 天津）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
9．（2021 新课标模拟）设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明当时，；
（3）设，证明当时，
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