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第16讲 公切线与公切点的高级应用
参考答案与试题解析
1．（2021春 武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
【解答】解：（1）由公共切点可得：，
则，，，
则，，①
又（1），（1），，即，代入①式可得：．
（2），设
则，
令，解得：，；
，，
原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增
①若，即时，最大值为；
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为．
综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为．
2．（2021 渝中区校级模拟）函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设，与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数的最大值．
【解答】解：（1），
则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令或，，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；
当时，令或，，解得，
所以在上单调递增，，单调递减，上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，，上单调递减，，上单调递增；
当时，在，上单调递增，，上单调递减，，上单调递增．
（2），因为与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，设公共点为，，
所以，则，且，，解得，
又因为，则，
令，
当时，；当时，，
故在，上单调递增，，上单调递减，
所以，故实数的最大值为．
3．（2021秋 和平区校级月考）设函数．
（1）若在区间，上存在极值，求实数的取值范围；
（2）①设，求的最小值；
②定义：对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数、，使得和都成立，则称直线为函数与的“隔离直线”．设，试探究与是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），则
①当时，，在区间，上递增，不存在极值；
②当时，，在，区间上递减，不存在极值；
③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在处取得极小值；
所以实数的取值范围；
（2）①时，；则；
当时，， 单调递减，
当时，，单调递增；
所以当时，取得最小值
②由①可知函数与的图象在处有公共点；
假设与存在“隔离直线” ，即；
由在上恒成立；
则在上恒成立；
即；
即
下面证明恒成立；
设，则；
所以当时，，当 时，
因此时，取得最大值0，则恒成立．
故与存在“隔离直线” ；
4．（2021秋 桐乡市期中）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为，
所以，令，
得：，此时，
则点，到直线的距离为，
即，解之得或；
（2）不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故，
令，由且（1），
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间，
这是因为此时不等式解集中有，，0恰好三个整数解．
故，即为，解之得；
（3）分别作出函数，的图象，
发现它们有一个交点．
令，可得，
解得，交点为，，
可设与相切的直线方程为，
由的导数，
可得切线的斜率为，
则切线的方程为，
又的图象是，为圆心，3为半径的上半圆．
由圆心到直线的距离为，
则直线也与的图象相切．
则直线即为、的分界线．
5．（2021春 文昌校级期末）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为，所以，
令
得：，
此时，
则点，到直线的距离为，
即，
解之得；
（2）设，
则，
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值0，
则与的图象在处有公共点，．
设与存在“分界线”，
方程为，即，
由在恒成立，
则在恒成立．
所以△成立，
因此．
下面证明恒成立．
设，
则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值0，则成立．
故所求“分界线”方程为：．
6．（2021 安阳一模）已知函数，，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数，，使对任意恒成立？若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，
，
令得．
当且时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）根据题意，注意到（e）（e），则，①．
于是，即，
则记，，
若，则，得在上单调递减，则当时，有（e），不合题意；
若，易知在上单调递减，在上单调递增，
得在上的最小值．
记，则，得（a）有最大值（3），即（a）（3），
又（a），故，代入①得．
当，时，即．
记，则，得在上有最小值（e），即，符合题意．
综上，存在，，使对任意恒成立．
7．（2021 江苏模拟）已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，，使得对任意的恒成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，，所以的解集为；
当时，，
若，则的解集为，；
若，则的解集为，．
综上所述，当时，的解集为；
当时，的解集为，；
当时，的解集为，． （4分）
（2）设，则．
令，得，列表如下：
0
极小值
所以函数的最小值为，
所以，即．（8分）
（3）假设存在常数，使得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
而当时，，所以，
所以，则，
所以恒成立，
①当时，，所以式在上不恒成立；
②当时，则，即，
所以，则．（12分）
令，则，令，得，
当时，，在上单调增；
当时，，在上单调减．
所以的最大值．所以恒成立．
所以存在，符合题意．（16分）
8．（2021 庐阳区校级模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有2个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解答】解：（1）的定义域为，，，
，
函数在，上单调递增，
，
在上有唯一零点，即，
又，
故在上有唯一零点，
综上，有且仅有两个零点；
（2）证明：因为，故点在曲线上，
由题设知，，即，
故直线的斜率为，
曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处切线也是曲线的切线．
9．（2019 新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解答】解析：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，
在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，
曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，
即有：，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，
将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
故得证．
10．（2019秋 上城区校级月考）已知函数．
（1）证明：恰有两个零点，且；
（2）设是的一个零点，证明：是曲线和曲线的公切线．
【解答】解：（1）函数，定义域为，，；
，且，
在，上单调递增；
因为，
所以在上存在唯一零点，
即，；
所以，且；
所以在上有唯一零点．
所以恰有两个零点，且；
（2）因为为的零点，则；
由，在处；
所以曲线在，处的切线为；由化简得切线为：；
当曲线切线斜率为时，
即，则；
所以切点为；
则过切点曲线的切线为；
由，切线为的方程化简为：；
所以和相同；
故是曲线和曲线的公切线；
11．（2021 江苏）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：，，
则由定义得，得方程无解，则与不存在“点”；
（2），，，
由得，得，
，得；
（3），，，
由，假设，得，得，
由，得，得，
令，，
设，，
则，（1），得（1），
又的图象在上不间断，
则在上有零点，
则在上有零点，
则存在，使与在区间内存在“”点
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第16讲 公切线与公切点的高级应用
1．（2021春 武汉期中）已知函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．
2．（2021 渝中区校级模拟）函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设，与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数的最大值．
3．（2021秋 和平区校级月考）设函数．
（1）若在区间，上存在极值，求实数的取值范围；
（2）①设，求的最小值；
②定义：对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数、，使得和都成立，则称直线为函数与的“隔离直线”．设，试探究与是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
4．（2021秋 桐乡市期中）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
5．（2021春 文昌校级期末）设函数，．
（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2021 安阳一模）已知函数，，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数，，使对任意恒成立？若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由．
7．（2021 江苏模拟）已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，，使得对任意的恒成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
8．（2021 庐阳区校级模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有2个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
9．（2019 新课标Ⅱ）已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
10．（2019秋 上城区校级月考）已知函数．
（1）证明：恰有两个零点，且；
（2）设是的一个零点，证明：是曲线和曲线的公切线．
11．（2021 江苏）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由
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