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第15讲 切线问题与公切线问题
1．（2021春 昔阳县校级期中）已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程；
（3）求斜率为1的曲线的切线方程．
2．（2021 乙卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
3．（2021 河南月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求曲线过点的切线与曲线的公共点的坐标．
4．（2021 香坊区校级二模）已知，其中，，存在使，求的值．
5．（2021春 东海县校级期中）已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间，上的最大值与最小值；
（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
6．（2021 金牛区校级月考）（文已知函数．
求曲线在点，处的切线方程；
设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
7．（2021春 五华区校级月考）已知函数．
（1）求的极大值点；
（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
8．（2021 朝阳区校级月考）已知函数，其中．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程
（Ⅱ）如果过点可作曲线的三条切线
（1）当时，证明：（a）；
（2）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）．
9．（2021 兴庆区校级月考）已知函数
（Ⅰ） 求曲线．在点，处的切线方程；
（Ⅱ） 设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）．
10．（2021 北京开学）已知函数．
（Ⅰ）当时，有极小值，求的值；
（Ⅱ）若过点只有一条直线与曲线相切，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点，，分别存在几条直线与曲线相切．（只需写出结论）
11．（2021 长沙一模）已知函数为实常数）．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）判断是否存在直线与的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．
12．（2021春 天河区期末）已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，，时，；
（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．
13．（2021春 江西月考）已知函数，，．
（Ⅰ）若的图象在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；
（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．
14．（2021 江苏二模）已知函数，，．函数的导函数在存在零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若存在实数，当，时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；
（3）若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值．
15．（2021 湘潭四模）已知函数．
（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
16．（2021春 修水县期末）已知函数，．
（1）若，求函数的图象在处的切线的方程．
（2）若函数的图象与函数的图象存在公共切线，求实数的取值范围．
17．（2021 海口模拟）已知函数．
（Ⅰ）当，分析函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求的值．
18．（2021 西安一模）若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值．
19．（2012 山东模拟）设函数，，函数的图象与轴的交点也在函数的图象上，且在此点处与有公切线．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）设，试比较与的大小．
20．（2021 长春二模）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若曲线与有两条公切线，求的取值范围．
21．（2015 南通模拟）设函数，其中为常数．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若函数在区间，上的最大值为3，求实数的取值集合；
（3）试讨论函数的图象与函数的图象的公切线条数．
22．（2021 临沂期末）已知函数其中是实数，设，，，为该函数图象上的两点，且．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围．
23．（2021 天津）已知函数，，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明：；
（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线
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第15讲 切线问题与公切线问题
参考答案与试题解析
1．（2021春 昔阳县校级期中）已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程；
（3）求斜率为1的曲线的切线方程．
【解答】解：（1）在曲线上，且，
在点处的切线的斜率为．
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设曲线与过点的切线相切于点，，
则切线的斜率，
切线方程为，
点在切线上，
，
，
解得或
故所求的切线方程为或．
（3）设切点为，
则切线的斜率为，．切点为，
切线方程为或，即或．
2．（2021 乙卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【解答】解：（1），△，
①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
②当△，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，，单调递增，在，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，
切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
3．（2021 河南月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求曲线过点的切线与曲线的公共点的坐标．
【解答】解：（1），
当时，，则在上单调递增：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，则，
设切点为，，则切线方程为，
即，
将代入，得，解得或4，
因为（1），（4），
且结合图象（图略）可知，两条切线与曲线分别只有一个公共点，
所以曲线过点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
4．（2021 香坊区校级二模）已知，其中，，存在使，求的值．
【解答】解：可以看作是动点，与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线上，
问题存在使，转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
对函数求导，得，
由，解得，此时直线与曲线的切点为，
直线上的动点与曲线上点的最小距离为，
，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
即，解得．
5．（2021春 东海县校级期中）已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间，上的最大值与最小值；
（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）
在时有极值，且在处的切线的斜率为
可有：
函数的解析式为：
（2）由（1）知：
令，有，．
所以，当，时，，在上单调递减；
当，时，，在上单调递增；
；，（2）（2）．
（3）设切点为，
切线斜率为：
切线方程为：①
又切线过点，带入①化简为：
令 与
，（1），；
，令，；
在，单调递减，上单调递增；
过点可作曲线的三条切线，即存在三个，也即是与有三个交点．
故如图所知：．
6．（2021 金牛区校级月考）（文已知函数．
求曲线在点，处的切线方程；
设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数，
．
切线方程为，
即．
（Ⅱ）已知关于的方程
即有三个不等实根．
令，则．
可知在递减，
在递增，在递减，
的极小值为：，极大值为（a）．
结合图象知．
7．（2021春 五华区校级月考）已知函数．
（1）求的极大值点；
（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
【解答】解：（1），
令，得或，
若，则当时，；
当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若，则当时，；
当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若，在上单调递增，无极值．
（2）设过点的直线与曲线相切于点，，
则，且切线斜率，
所以切线方程为，
因此，整理得，
构造函数，
则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，
，
与的关系如下表：
1
0 0
极大值 极小值
所以的极大值为，极小值为（1），要使有三个解，
即且（1），解得，
因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．
8．（2021 朝阳区校级月考）已知函数，其中．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程
（Ⅱ）如果过点可作曲线的三条切线
（1）当时，证明：（a）；
（2）当时，写出的取值范围（不需要书写推证过程）．
【解答】解：（Ⅰ），
，
曲线在点，处的切线的斜率，
由点斜式写出切线方程为，即．
（Ⅱ）（1）如果切线过点，则存在，使．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记，则，
令，解得，或
当，时，
当时，
当时，取极大值，当时，取极小值，
如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即，则，
即（a）；
（2）令，解得，或
当，时，
当时，
当时，取极大值，当时，取极小值，
如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即（a）．
9．（2021 兴庆区校级月考）已知函数
（Ⅰ） 求曲线．在点，处的切线方程；
（Ⅱ） 设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）．
【解答】解：（1）求函数的导函数；．
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记，则．
当变化时，，变化情况如下表：
0
0 0
递增 极大值 递减 极小值（a） 递增
由的单调性，当极大值或极小值（a）时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根；
当（a）时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，
则，即（a）．
10．（2021 北京开学）已知函数．
（Ⅰ）当时，有极小值，求的值；
（Ⅱ）若过点只有一条直线与曲线相切，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，判断过点，，分别存在几条直线与曲线相切．（只需写出结论）
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由得．（1分）
根据题意（1），解得．（2分）
此时．
令，解得或．
当时时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
符合当时，有极小值，因此．（4分）
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为．
因此，
整理得．（6分）
设，
则“过点只有一条直线与曲线相切”等价于“只有一个零点”． ．
当变化时，与的变化情况如下：
0 1
0 0
所以，是的极大值，（1）是的极小值．（8分）
当只有一个零点时，有或（1），解得或．
因此当过点只有一条直线与曲线相切时，的取值范围是或．（10分）
（Ⅲ）过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在3条直线与曲线相切；
过点存在2条直线与曲线相切．（13分）
11．（2021 长沙一模）已知函数为实常数）．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）判断是否存在直线与的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．
【解答】解：（1）函数的导数为，
由在上单调递增，
可得在上恒成立，
即，由在上递增，可得的值域为，
则，即有的取值范围为，；
（2）不存在直线与的图象有两个不同的切点．
证明：假设存在这样的直线，
设两切点为，，，，
由假设可得，
由，可得，
即有，显然，，
即有，而
，
即，
故不存在直线与的图象有两个不同的切点．
12．（2021春 天河区期末）已知直线是函数图象的切线，也是曲线的切线．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，，时，；
（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）设与和的切点分别为，、，；
，
，，
，
，
切线方程分别为，即为，
或，即为，
，
解得，
，；
证明：（Ⅱ）令，，，，
则，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1），
故，，时，即；
（Ⅲ），，
，在上单调递减，而，（1），
由（Ⅱ）中的单调性，可得：，
由（Ⅱ）可得：（1），，使得，
即时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减．
13．（2021春 江西月考）已知函数，，．
（Ⅰ）若的图象在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；
（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，得．又（1），
故在的切线方程为，代入，得，
．从而，，
，
①当时，，．故的单调增区间为；
②当，即时，，．
故的单调增区间为；
③当，即时，由得，
故的单调增区间为，．
综上，当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为，．
（Ⅱ）设的切点横坐标为，，
切线方程为①
设的切点横坐标为，，
切线方程为②
联立①②，得，消去得．
考虑函数，．
令，得或2．
当或时，，函数在区间，上单调递减，
当且时，，函数在区间，上单调递增．
，．故当时，方程有解，
从而，函数与存在公切线．
14．（2021 江苏二模）已知函数，，．函数的导函数在存在零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若存在实数，当，时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；
（3）若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值．
【解答】解：（1）已知函数，，，
则，则，
即方程在有实数解，
由，，
故，；
（2）由，，△，
①当△时，即，时，，递增，故不符合题意；
②当△时，即时，有两个解，，
当时，当时，函数递增，显然不会是最大值，故不符合题意，
当，时，由于，
故在递减，在，递增，
若，则在，递减，在出有最大值，
若，，则在递减，在，递增，
要使最大，则（b），即，
即，，，
故，即，，
综上，最大值为4；
（3）设直线与的切点为，
，所以切线斜率，
切线方程为，
即，
根据题意得，，化简得，得，
故切线方程为，
设直线与的切点为，
由，故切线方程为，
即，
故，消去，得，
由得，
设，，
，递增，且（1），
故，代入的．
15．（2021 湘潭四模）已知函数．
（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，
又因为，，
所以，，即，
由可得或，
由点唯一可得或，
即或，
由可得，
综上可得，；
（2）由，，
则，
若即时，在上单调递减，在上单调递增，
因为时，，且（2），
故要使得有2个零点，只有（1）即，
当时，只有一个零点，
故
若，即时，
①当时，在上单调递增，不符合题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且时，，且（1），，
故要使得有2个零点，则，
即，
令（a），，
则，
故（a）在上单调递增，且，
故（a）在上恒成立，不可能有2个零点，
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且（1），
故不可能有2个零点，
综上．
16．（2021春 修水县期末）已知函数，．
（1）若，求函数的图象在处的切线的方程．
（2）若函数的图象与函数的图象存在公共切线，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若，，，
函数的图象在处的切线的斜率，又，
故函数的图象在处的切线的方程为，即．
（2）设，的公切线的斜率为，
与，图象的切点分别是，，，；
若不存在，则不是图象的切线，所以存在；
则，
，
，整理得，
根据题意，此关于的方程有解；
令，
则有零点．
，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），
有零点当且仅当（1），
解得，即实数的取值范围为，．
17．（2021 海口模拟）已知函数．
（Ⅰ）当，分析函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，
．
当为奇数时，，，
在区间上单调递增，
当为偶数时，，，
当时，，当时，，
在区间上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当为奇数时，在区间上单调递增，
当为偶数时，在区间上单调递减，在上单调递增；
（Ⅱ），．
设与上各有一点，，，．
则在以为切点的切线方程为，
在以为切点的切线方程为．
由两条切线重合，得，
由题意，方程组有唯一解，
消去，整理得：．
令，．
可知在区间上单调递减，在，上单调递增．
又当时，，
有唯一解，则有，即．
即．
令，．
可知在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
又，只有唯一一实根．
当时，函数与的图象有且只有一条公切线．
18．（2021 西安一模）若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值．
【解答】解：设直线与曲线的切点坐标为，，
则，则切线的斜率或，
若，此时切线的方程为，
由，
消去，可得，
其中△，即，
解可得；
若，其切线方程为，
由，
消去可得，
又由△，即，
解可得．
故或．
19．（2012 山东模拟）设函数，，函数的图象与轴的交点也在函数的图象上，且在此点处与有公切线．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）设，试比较与的大小．
【解答】解：由题意：，，（2分）
由题意可得：．（5分）
由可知，令．．
，（8分）
是上的减函数，而（1），（9分）
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有．（12分）
20．（2021 长春二模）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若曲线与有两条公切线，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，令，
，
令且可得，．
（Ⅱ）方法一：根据二次函数和代数函数的性质得：
当时，曲线与有两条公切线，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，，令，，
即，因此，，
方法二：取两个函数相切的临界条件：，解得，，
由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，，
故的取值范围是，．
21．（2015 南通模拟）设函数，其中为常数．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若函数在区间，上的最大值为3，求实数的取值集合；
（3）试讨论函数的图象与函数的图象的公切线条数．
【解答】解：（1）当时，，
，令，解得，
即当时，函数的单调减区间为．（3分）
（2），
：当时，在区间，上恒成立，即单调递增，
令（3），，所以不符合题意．（4分）
：当时，，
因为在区间，上的最大值为3，所以，
当，即时，在区间，上恒成立，即单调递减，
令，得，即符合题意，（6分）
当，即时，在区间，的解集为，，
即函数在区间，上单调递减，在区间，单调递增，
所以，（3），又因为，
所以令（3），求得，即符合题意，
综上，实数的取值集合为，．（8分）
（3）设，并设切点为，则，
即切线方程为，
整理得，
，且由题意，令此直线与的图象相切，
即，
整理可得，
令，
整理得，
由题意可知，此方程根的个数即为函数的图象与函数的图象的公切线条数，（10分）
设，则，
令，解得或，
：当，即时，的解集为，列表如下：
， 0
0 0
极大值 极小值
由表得，当时，取得极小值，
又因为，所以方程，有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条（12分）
：当，即时，恒成立，即在上单调递增，
又因为，所以方程有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条（13分）
：当，即时，的解集为，列表如下：
0 ，
0 0
极大值 极小值
由表得，当时，取得极大值；当时，取得极小值，
因为，，
当，即时，
方程，有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条，
当，即时，
方程，有且仅有两个实数根，即公切线条数为两条，
当，即时，
方程有且仅有三个实数根，即公切线条数为三条，
综上，当时，公切线条数为一条；当时，公切线条数为两条；
当时，公切线条数为三条．（16分）
22．（2021 临沂期末）已知函数其中是实数，设，，，为该函数图象上的两点，且．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
，，
，
，
①时，，此时在上单调递增；
②时，，得，，
时，，在上单调递增，在，（上单调递减，在，上单调递增；
③时，（舍去），在上单调递增，在，上单调递减；
（Ⅱ）当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为；
当时，函数在点，处的切线方程为；
两直线重合的充要条件是且，
由①及得，由①②得，
令，则，且，设，
则，在为减函数，
则（2），，
若函数的图象在点，处的切线重合，的取值范围．
23．（2021 天津）已知函数，，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明：；
（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，，有，
令，解得．
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
极小值
函数的单调减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）证明：由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．
由，可得曲线在点，处的切线的斜率为．
这两条切线平行，故有，即，
两边取以为底数的对数，得，
；
（Ⅲ）证明：曲线在点处的切线，
曲线在点，处的切线．
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，使得与重合，
即只需证明当时，方程组
由①得，代入②得：
，③
因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．
设函数，既要证明当时，函数存在零点．
，可知时，；时，单调递减，
又，，
故存在唯一的，且，使得，即．
由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，
在处取得极大值．
，故．
．
下面证明存在实数，使得，
由（Ⅰ）可得，当时，有
．
存在实数，使得．
因此，当时，存在，使得．
当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线
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