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第04讲 极值点偏移:减法型
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2021 七星区校级月考）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
【解答】解：（1），
在递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
时，，递增，
时，，递减，
（1），
；
（2）由题意得（1），，
，，
，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
又（2），，，
故分别在，和有零点，，（不妨设，
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减，
故在，和有2个极值点，，
而，，，
（4），，，
，，
，
故原命题成立．
2．（2021 常熟市月考）设函数，，其中．
（1）若，证明：当时，；
（2）设，且，其中是自然对数的底数．
①证明恰有两个零点；
②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．
【解答】（1）解：令，
当时，，所以在上递减，
又在，上连续，
所以当时，（1），即当时，；
（2）证明：①，得，
令，由，
可知在内单调递减，又（1），
且．
故在有唯一解，从而在内有唯一解，
不妨设为，则，
当时，，所以在内单调递增；
当，时，，所以在，内单调递减，
因此是的唯一极值点．
由（1）知．从而，
又因为（1），所以在，内有唯一零点．
又在内有唯一零点1，从而在内恰有两个零点．
②由题意，，即，
从而，即．
因为当时，，又，
故，
两边取对数，得，于是，
整理得．
3．（2021 黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．
【解答】（1）解：，．
若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减．
若，则当时，，单调递增．
故当时，在上在上单调递增；在上单调递减．当时，在上单调递增．
（2）证明：令，则．
由（1）知，在上，单调递增．
又（1）（1），所以在上，，单调递减；在上，，单调递增．
又，，，
所以，，故．
4．（2021 道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．
【解答】解：（1），
设，
，
当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在，单调递减；
当时，在单调递减．
（2）证明：设，
，由于，
恒成立，
知函数在上为增函数且（1），
1
0
递减 极小值 递增
（1），
，（e），
知在区间，以及内各有一个零点，即为，，，
知，即．
5．（2010 鼓楼区校级模拟）定义域均为的奇函数与偶函数满足．
（1）求函数与的解析式；
（2）证明：；
（3）试用，，，表示与．
【解答】解：（1）①
，
为奇函数，为偶函数
，
②
由①，②解得，．
（2）解法一：
（法二）
（3），．
同理可得，．
6．（2021 光明区月考）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，
，，
令，可得，令，可得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：函数的定义域为，，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以，是函数的两个零点，
，
，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，，
由，可得，
因为，所以，
所以要证，即证，只需证（2），
因为，
所以（2），
所以，得证．
7．（2021 日照模拟）设函数．
（1）若函数在上单调递增，求的值；
（2）当时，
①证明：函数有两个极值点，，且随着的增大而增大；
②证明：．
【解答】解：（1），，由题意知，恒成立，
当吋，，则单调递增，又，则当吋，，
单调递减，即不符合题意；
当时，．解得．可知，在上单调递减，在．上单调递增，
，
设（a），（a），（a）在上单调递增，在上单调递减，
所以（a）．
若，即时，，符合題意；
若，即时，，不符合題意．
綜上，．
（2）证明：①时，，由（1）知，，且，
当时，，当．时，，所以为极大值点，
由（1）有，则当吋，，
所以，所以当吋，，
当时，．当，时，．所以为极小值点，
所以有两个极值点，
因为，所以，
设，则，
由（1）可知，，所以，单调递增，所以随着的增大而增大，且，所以随着的增大而增大．
②由，可得，
要证，即证，
即证，
设，，
，，．
所以单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以命题得证．
8．（2021春 丽水期中）已知函数，，．
（Ⅰ）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数有3个不同的零点，，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ）解法一：由题意可知，恒成立，所以，
所以，即，所以，
又，所以在，上单调递减，
故（1），
所以的取值范围为，；
解法二：由恒成立，所以对任意，恒成立，
故当时，不等式应当成立，得，
而当时，，记，，
则，得单调递减；
故（1），所以恒成立，
综上可知，的取值范围为，；
解法三：由恒成立，即，
即当时，函数的图象不能出现在直线的上方，
而，故在，单调递减，
大致画出该函数的图象，不难发现，当，；
所以的取值范围为，；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由，所以，
而，令，得；
令，得，
故在单调递增，在单调递减，
而，
（1），画出的草图，
容易得到，且，
设，，
即，，
所以，
当时，，所以，所以在单调递增，
所以，即，因为，则，
又，所以，，
所以．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，，当时，
故，画出草图，
设直线与在时的交点的横坐标为，，结合图象易知
，而，，
所以．
9．（2021 迎江区校级三模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
【解答】（1）解：的定义域为．
令，方程的判别式△，
当△，即时，恒成立，
即对任意，
所以在上单调递增．
当△，即或．
①当时，恒成立，即对任意，
所以在上单调递增．
②当时，由，解得．
所以当时，；当时，；当时，，
所以在上，，
在上，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：
由，可得，
得，因此，
因为，
令，则，
所以，所以，
要证明，只需证，
即证，
由（1）可知，时，在上是增函数，
所以当，（1），而（1），因此成立，
所以．
10．（2021 浙江月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若方程有两个不同实根，，证明：．
【解答】解：（1），
（1），（1），
切线方程为．
（2）由（1）得，
又，，且在上单调递增，
所以有唯一实根，
当时，，递减，
当，时，，递增，
故两根分别在与，内，不妨设，
设，，，则，
当，时，，递减，
当时，，递增，
有最小值（1），即恒成立，
，，
又因为函数在处的切线方程为，
所以恒成立，，即，
于是．
11．（2021 巴南区校级月考）已知函数为常数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．
【解答】解：（1）依题意，得，
，由，解得，即当时，，单调递增，
由，解得，即当时，，单调递减，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为，．
（2），
的两根为，，
即方程的两根为，，
，△，
，，
，
，
令，
由韦达定理，得，
，
，，
或，，
令，，
在上递减，
，
12．（2021 金华模拟）已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若方程有两个实根，，且，证明：时，．（注为自然对数的底数）
【解答】解：（1）由，
所以，又，
所以在点，处的切线方程为．
（2）证明：由（1）知在点，处的切线方程为，
令，
则，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
故当时，，
而，
由，令，则，
所以的根，
所以，
因为在上单调递减，所以，
而在处的切线，
同理令，
则，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
当时，，（1），
所以（1），
所以，
则的根，
，
又在上单调递增，所以，
故
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第04讲 极值点偏移:减法型
一．解答题（共12小题）
1．（2021 七星区校级月考）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
2．（2021 常熟市月考）设函数，，其中．
（1）若，证明：当时，；
（2）设，且，其中是自然对数的底数．
①证明恰有两个零点；
②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．
3．（2021 黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．
4．（2021 道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．
5．（2010 鼓楼区校级模拟）定义域均为的奇函数与偶函数满足．
（1）求函数与的解析式；
（2）证明：；
（3）试用，，，表示与．
6．（2021 光明区月考）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
7．（2021 日照模拟）设函数．
（1）若函数在上单调递增，求的值；
（2）当时，
①证明：函数有两个极值点，，且随着的增大而增大；
②证明：．
8．（2021春 丽水期中）已知函数，，．
（Ⅰ）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数有3个不同的零点，，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
9．（2021 迎江区校级三模）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
10．（2021 浙江月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若方程有两个不同实根，，证明：．
11．（2021 巴南区校级月考）已知函数为常数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．
12．（2021 金华模拟）已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若方程有两个实根，，且，证明：时，．（注为自然对数的底数）
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