中小学教育资源及组卷应用平台
第20讲 不等式恒成立之max，min问题
1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.
（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.
5．（2019·云南·一模（理））已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且；
（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数.
（1）若，证明：在上存在唯一零点；
（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.
7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数．
（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，试判断与的大小，并给出对应的证明．
8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数.
（1）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小 ，并给出对应的证明.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.
10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.
11．（2020·北京八中高二期末）
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，
．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
12．（2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
13．（2011·浙江宁波·一模（理））
函数定义在区间上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，
，
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数
为区间上的“第k类压缩函数”．
(Ⅰ) 若函数，求的最大值，写出的解析式；
(Ⅱ) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第20讲 不等式恒成立之max，min问题
1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的取值范围是.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可得答案；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可获得证明；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，易得单增，分与两种情况讨论，结合的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a.
【详解】
（1），,
当时，，，则；
当时，，，则，
当时，．
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，．
（2）函数的定义域为，
由（1）得，当时，，又，
所以当时，恒成立．
由于当时，恒成立，
故等价于：当时，恒成立．
，．
当时，，，故；
当时，，，故．
从而当时，，单调递增．
①若，即，则当时，，单调递减，
故当时，，不符合题意；
②若，即，取，
则，且，
故存在唯一，满足，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
若，则当时，单调递增，，不符合题意；
若，则，符合题意，此时由得；
若，则当时，单调递减，，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数满足题意．
【关键点晴】
本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将恒成立转化为在时恒成立，在对研究时，关键点是，再结合的单调性及零点存在性定理讨论得到a，有一定难度，特别是书写的规范性.
3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上是增函数，；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】
（1）利用导数讨论的单调性，由，得到不等式的解集；
（2）利用导数讨论的单调性，求出最小值，即可证明；
（3）先判断当时，由恒成立得到恒成立；
再研究当时， ，只需在上恒成立即可．
利用分离参数法得到，利用导数研究，的极大值，求出a的范围.
【详解】
（1），
当时，，，∴，
当时，，，∴，
当时，，
所以当时，，即在上是增函数；
又，所以的解集为．
（2）．
由，得，，
则，即在上为增函数．
故，即．
（3）由（1）知，
当时，恒成立，故恒成立；
当时，，因为，要使得恒成立，
只要在上恒成立即可．
由，得．
设函数，，
则．
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：
+ 0 -
极大值
所以在上单调递增，在上单调递减．
在上唯一的一个极大值，即极大值，故
综上所述，所求实数的取值范围为．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.
（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【分析】
（I）问题转化为或恒成立，令g（x）＝，通过求导求出g（x）的最小值，从而求出a的范围
（Ⅱ）由（I）可得当时，在有唯一的，使得a= 且得到，从而得到的最小值为，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论.
【详解】
（I）求导得，由题意知，
设，则，在递减，在上递增，
即是的极小值点，所以，
要使是上的单调函数，即或恒成立，只有.
（Ⅱ）令，即a=xlnx，在在上递增，
当时，在有唯一的，使得a=
又由的单调性，知，即，
所以的最小值为，将代入，
得，
从而知，
另一方面，记，求导得，
当时，所以是的唯一极大值点，即，
有，
综上所述，.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题．
5．（2019·云南·一模（理））已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且；
（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见证明（3）
【分析】
(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，
在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立. 设，只需证明，再利导数求得的最小值，.
【详解】
（1）∵，
∴切线的斜率，.
∴函数在点处的切线方程为.
（2）证明：∵，，
∴，，，
∴存在零点，且.
∵，
∴当时，；
当时，由得
.
∴在上是减函数.
∴若，，，则.
∴函数只有一个零点，且.
（3）解：，故，
∵函数只有一个零点，
∴，即.
∴.
∴在为增函数在，恒成立.
当时，即在区间上恒成立.
设，只需，
，在单调减，在单调增.
的最小值，.
当时，，由上述得，则在恒成立.
综上述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数.
（1）若，证明：在上存在唯一零点；
（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）证明在上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值.
试题解析：
解：(1)函数的定义域为，因为，当时，，而，所以在存在零点.因为，当时，，所以，则在上单调递减，所以在上存在唯一零点.
（2）由（1）得，在上存在唯一零点，时，时，
.当时，由于；时，，于是在单调递增，则，所以当时，.当时，因为，时，，则在单调递增；时，，则在单调递减，于是当时，，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.
7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数．
（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，试判断与的大小，并给出对应的证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）只需证明在上单调递增，且即可；（2）先证且存在，使得，故时，；当时，，再用分析法证 明即证.
试题解析：（1）证明：，定义域为，而．
故，即在上单调递增，
又，而在上连续，故根据根的存在性定理有；在区间有且仅有唯一实根．
（2）当时，，而，故此时有，
由（1）知，，当时，，
且存在，使得，故时，；当时，．
因而，
显然当时，，因而单增；
当时，，因而递减；
在有两不等实根，则．
显然当时，，下面用分析法给出证明，要证：即证，
而在上递减，故可证，又由，
即证，即，
记，其中．
，
记，当时，；时，故，
而故，而，从而，
因此，
即单增，从而时，，即，
故得证．
考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.
【方法点睛】判断则方程实根的常用方法：①转化法：函数零点个数的个数就是函数零点的个；②零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法②进行的.
8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数.
（1）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小 ，并给出对应的证明.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）证明在区间内有且仅有唯一实根，要从两方面入手，一是单调性，保证至多一个实根；二是零点存在定理，保证至少一个根.而单调性的说明，往往利用导数：因为而，故，零点存在定理关键找出两个变号的函数值：（2）本题实质是极点偏移：先确定，再确定取值范围：，最后利用“对称”比较与大小：，即，而，在上递减，因此可得，即
试题解析：（1）解：证明：，定义域为，，而，故，即在上单调递增，
又，而在上连续，故根据根的存在定理有：
在区间有且仅有唯一实根
（2） 当时，，而，故此时有，由（1）知，，当时，，且存在使得，故时，；当时，，因而，
显然当时，因而单增；当时， ，，因而递减：在有两个不等实根，则
显然当时， ，下面用分析法给出证明，要证：，
即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即，
记，其中.
，
记，当时，；时，故，
而故，而，从而，因此，即单增，从而时，，即，故，得证
（其他方法酌情给分）
考点：利用导数研究函数单调性、函数零点，证明不等式
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题设有，讨论、判断的符号，进而确定的单调性；
（2）由题意得，研究在上的符号，由区间单调性结合零点存在性定理确定存在使得，根据题设定义写出解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证，构造函数，应用导数研究单调性并确定，即可证结论.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令有，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）且定义域为，
∴，而在上，即在区间内单调递增，又，，且在区间内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
∴存在，使得，即，
∴当时，，即；当时，，即，
∴可得，
当时，，由得单调递增；
当时，，由得单调递减：
若在区间内有两个不相等的实数根，，则，
∴要证，需证，又，而在内递减，
故可证，又，即证，即
下证：记，，由知：，
记，则：当时，；当时，，故，而，所以，
由，可知.
∴，即单调递增，
∴当时，，即，故，得证.
【点睛】
关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究在上零点的个数，写出解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.
10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由求出，分别讨论与的关系，从而求出，时的范围，可得函数的增减区间，根据单调性可得函数的极值情况；（2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理，存在，使得，可得以，要证，只需证，即，记，其中，利用导数可证明单调递增，故当时，，即可得，进而可得结果.
【详解】
解：（1）由题意，得，
故，
故，
.
令，得
①当时，，
或；
，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取极大值，
在处取极小值.
②当时，，恒成立，所以不存在极值；
③当时，，或；
，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取极大值，
在处取极小值.
综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.
（2），定义域为，
，而，
故，即在区间内单调递增
又，，
且在区间内的图象连续不断，
故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
所以存在，使得，
且当时，；
当时，，
所以
当时，，
由得单调递增；
当时，，
由得单调递减；
若在区间内有两个不等实根（）
则.
要证，即证
又，而在区间内单调递减，
故可证，
又由，
即证，
即
记，其中
记，则，
当时，；
当时，，
故
而，故，
而，
所以，
因此，
即单调递增，故当时，，
即，故，得证.
【点睛】
本题考查分类讨论求函数的极值以及零点偏移证明不等式.
方法点睛：
（1）根据零点判断两根的范围；
（2）由证明的结果逆推关系式，一般为要想证明，只需证，再根据的范围以及函数的单调性寻找要证明的关系式；
（3）根据同为零点的关系替换，即转化为证明；
（4）对函数求导，求单调性证明即可.
11．（2020·北京八中高二期末）
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，
．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
【答案】（1），．
（2）存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．
（3）
【详解】
试题分析：（1）根据的最大值可求出，的解析式；（2）根据函数，上的值域，先求出，的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出，的解析式，然后再由求出k的取值范围.
试题解析：
（1）由题意可得：，，，.
（2），，
当时，，∴，；
当时，，∴，∴；
当时，，∴，
综上所述，.即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.
（3），令得或.函数的变化情况如下：
令得或.
（1）当时，在上单调递增，因此，，.因为是上的“二阶收缩函数”，所以，
①，对恒成立；
②存在，使得成立.
①即：对恒成立，由解得或.
要使对恒成立，需且只需.
②即：存在，使得成立.
由解得或.所以，只需.
综合①②可得
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立，
（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立.
综合（1）（2）（3）可得：.
12．（2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在，.
【分析】
（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图像即可判定；（2）构造函数，对该函数在的最大值进行分类讨论求解，只需要最大值小于0即可.
【详解】
（1）设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所，所以，即，所以.
设，结合与在上的图象可知，
这两个函数的图象在内有两个交点，
即在上的零点个数为2（或由方程在内有两根可得）.
（2）假设存在实数，使得对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
①设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，
当即时，，所以，因为，所以，
故当时，对恒成立；
当，即时，在上递减，
所以.
因为，所以，
故当时，对恒成立.
②若对恒成立，
则，
所以.
由①②得，.
故存在实数，使得对恒成立，且a的取值范围为.
【点睛】
此题考查导数的应用，利用导函数研究函数的单调性，图像，零点等问题，含参问题因为参数取不同范围导致函数单调性发生变化，所以一般分类讨论，属于较难题目.
13．（2011·浙江宁波·一模（理））
函数定义在区间上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，
，
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数
为区间上的“第k类压缩函数”．
(Ⅰ) 若函数，求的最大值，写出的解析式；
(Ⅱ) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)
【分析】
(I)求出导函数，令导函数大于0求出x的范围即为递增区间；令导函数小于0求出x的范围即为递减区间，利用的定义，求出它们的解析式；(II)求出函数的导函数，通过导数判断出其单调性，得到的解析式，根据“第3类压缩函数”的定义列出不等式，求出m的范围．
【详解】
(Ⅰ)由于，故在上单调递减，在上单调递增．
所以，的最大值为．
，
，
(Ⅱ)由于，故在上单调递减，在上单调递增，
而，，故，，
．
设对正整数k有对恒成立，
当x=0时，均成立；
当时，恒成立，
而, 故；
当时，恒成立，而；
故；所以，，
又是上的“第3类压缩函数”，故，
所以，
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
