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第19讲 不等式恒成立之双变量最值问题
1．（2021·山西晋中·三模（理））已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．
2．（2021·浙江台州·三模）已知函数，其中.(为自然对数的底数)
（1）求在点处的切线方程；
（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.
3．（2021·河南·郑州一中模拟预测（文））已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.
4．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三月考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设，若，恒有成立，求的最小值.
5．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期末（理））已知函数.
（1）设，讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
6．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知函数，，其中
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.
7．（2021·湖南湘潭·一模）已知为自然对数的底数，函数，（）．
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值．
8．（2021·辽宁·高三月考）已知函数.
（1）若时，有解，求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求的最大值.
9．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，，，
（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（2）求的最大值；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．
10．（2021·广西·南宁三中模拟预测（理））已知函数，，．
(1)当，时，求证：；
(2)若恒成立，求的最大值．
11．（2021·新疆·模拟预测（理））已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）设关于的不等式对任意恒成立时的最大值为，其中求的取值范围.
12．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知函数，其中，是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
13．（2021·全国·高三专题练习）已知函数其中
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于恒成立，求的最大值.
14．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
15．（2021·天津河西·三模）已知函数，，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.
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第19讲 不等式恒成立之双变量最值问题
1．（2021·山西晋中·三模（理））已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）的最小值为.
【分析】
（1）利用切线求出；
（2）先把恒成立，转化为对任意恒成立，研究单调性，利用图像得到，从而求出的最小值.
【详解】
（1）当时，直线与函数的图象相切于，
因为，所以，
则且，即，解得：.
（2）若对任意，都有恒成立，得.
假设，则当时，，
而当时，.
取，则当时，，
而，矛盾；故.
当时，由，得，即.
下证：能取到.
当时，.
记，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以，即.
所以.
即对任意恒成立，
故的最小值为.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
2．（2021·浙江台州·三模）已知函数，其中.(为自然对数的底数)
（1）求在点处的切线方程；
（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）令，则，则由题意可得在上单调递增，所以，而，则，，则可得，从而得，令，然后利用导数求出其最小值即可
【详解】
解：（1）由，得，
所以，
因为，
所以在点处的切线方程为，即，
（2），
令，则，所以
，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时，
综上，的最小值为
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决恒成立问题，解题的关键是由题意求出，从而得，令，然后利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
3．（2021·河南·郑州一中模拟预测（文））已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【分析】
（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】
（1）f′(x)=aex﹣1，
当a≤0时， <0，f(x)在R上单调递减，
若a>0时，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna时， >0，f(x)为增函数，
在x<﹣lna时， <0，f(x)为减函数，
所以，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调减区间为，增区间为.
（2）f(x)=aex﹣x，由题意f(x)min≥b，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，
当a>0时，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，
∴，
设h(a)，则 ，
a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，
∴h(a)min=h（1）=1.
所以的最小值为.
【点睛】
本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
4．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三月考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设，若，恒有成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由在上单调递增，可得在上恒成立，利用分离参数法求出的范围即可；
（2）设，，根据条件求出的范围后，根据，可得的最小值.
【详解】
解：（1）由，得，
由在上单调递增，可得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，；当，则，∴，
∴的取值范围为.
（2）设，，
则.
设，则，
∴单调递增，即在上单调递增，
∴.
当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；
当时，，在上单调递减，，符合题意；
当时，由于为一个单调递增的函数，
而，，
由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
因此只需，∴，
∴，从而，
综上，的取值范围为，
因此.
设，则，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
从而，
∴的最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题.
5．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期末（理））已知函数.
（1）设，讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
试题分析：（1）函数定义域为，由题意得，则，分情况和，由导函数的正负求单调区间即可；
（2）设函数，，分易知不成立，，计算函数的最大值为，由，得，令，，求最值即可.
试题解析：
（1）函数定义域为，由题意得，则，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
（2）设函数，其中为自然对数的底数，
∴，，
当时，，在上是增函数，∴不可能恒成立，
当时，由，得,
∵不等式恒成立，∴，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值，，
∴满足即可，∴，
∴，
令，，
.
令，，
由，得，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
∴当时，取最小值，
∵时，，时，，，
∴当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
∴时，取最小值，，
∴的最小值为.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
6．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知函数，，其中
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.
【答案】
（1）
（2）1
【分析】
（1）求导得到，根据切线方程公式得到，解得答案.
（2）令，考虑和，根据导数的正负得到函数单调性，计算最小值得到，令，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
（1）
因为的图象与的图象相切，设切点为，
又，所以，解得，.
（2）
因为等价于，令，
当时，对于任意正实数恒成立，单调递增，
故由得，此时
当时，由，得，
又当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以当时，有最小值，
所以，即，所以，
令，则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，故，所以的最大值为1，此时，
综上所述，的最大值为1.
【点睛】
本题考查了切线问题和利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，其中分类讨论和将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.
7．（2021·湖南湘潭·一模）已知为自然对数的底数，函数，（）．
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据题意，设切点为，进而根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据已知条件将问题转化为求得最小值问题，进而分,两种情况讨论求解，当得，再构造函数求最值即可.
【详解】
（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，
又，所以，解得，．
所以；
（2）因为等价于，令，
当时，在上为增函数，且当时，，所以不满足题意；
当时，对任意的恒成立，
所以，故，此时的最大值为0；
当时，因为，由，得，
又当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，有最小值，
所以，即，
所以，
令（），则，
所以当时，为增函数，当时，为减函数，
所以，故，所以的最大值为；
综上所述，的最大值为．
【点睛】
本题重点考查函数的最值，导数的几何意义及导数在函数中的应用，不等式等函数、导数和不等式的基础知识，考查学生的转化与化归，分类与整合的数学思想和运用所学知识解决数学问题的综合能力.本题第二问解题的关键在于根据已知条件将问题转化为求得最小值问题，进而分,两种情况讨论求解.
8．（2021·辽宁·高三月考）已知函数.
（1）若时，有解，求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）把不等式有解，转化为有解，设函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解；
（2）求得导数，当时，恒成立，所以在区间内单调递减，与题意不符；当时，结合单调性得到，得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，
因为时，，可得，即，
设函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，同理可求得单调递减区间为.
所以，所以，解得所以，
即实数的取值范围.
（2）由函数，可得，
若，即时，恒成立，所以在区间内单调递减，
又由时，，与题意不符.
若，即时，令，即，解得，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以
所以，所以，
设，
所以
令，即，解得
又因为，所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减﹐
所以，
所以当时，有最大值为.
【点睛】
利用函数的导数求解不等式的恒成立与有解问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.
9．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，，，
（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（2）求的最大值；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题意可知，函数在上有极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可得出的最大值；
（3）分析可得，令，可得出，利用导数出函数在区间上的最小值，以及函数在区间上的最大值，由此可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知，函数在上有极值点，
，则，
所以，函数在上递减，在上递增，
所以，，可得；
（2）若时，对任意的，，在上递减，，，，
所以，，则；
若，对任意的，，在上递增，
，，，
所以，，则；
若，由，可得或；由，可得.
则在上递增，在上递减，在上递增；
，，，．
因为，所以，函数关于对称，
，
则，
若，，，
则；
若，，，
则，则；
若，，，
则，则.
综上；
（3）先考虑必要性，若对任意恒成立，
首先必须满足.
①若，，可得，不合乎题意；
②若，，解得，此时；
③若时，，解得，此时.
综上，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
若，由（2）可知，，则，
由，则，所以
若，则，，
由，则，
则，
令，则，
对于函数，对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，所以，，
对于函数，对任意的恒成立，
所以，函数在区间上单调递减，则，
因此，.
综上：.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
10．（2021·广西·南宁三中模拟预测（理））已知函数，，．
(1)当，时，求证：；
(2)若恒成立，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】
(1)讨论的单调区间及单调性，求出的最小值，作差比较即得；
(2)分类讨论确定a>0，不等式等价转化为，构建函数并求其最大值，进而计算出ab，并再求函数最大值而得.
【详解】
(1)证明：当，时，，，
所以，，
所以当时，；当时，，在上递减，在上递增，
所以当且仅当时，有最小值，
因为，所以；
(2)依题意：，
令，则有恒成立，
当时，对任意的实数，当且时，即，，矛盾；
所以，，而，
当时，，当时，，
从而在上单调递增，在单调递减，
故在时有最大值，
因此，所以，
设，则，
时，时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取最大值，当且仅当，即时取“=”，
故的最大值为．
【点睛】
思路点睛：含参数的问题，对参数进行分类讨论，常见类型：
(1)问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的；
(2)问题中的条件是分类给出的；
(3)解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的；
(4)涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论.
11．（2021·新疆·模拟预测（理））已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）设关于的不等式对任意恒成立时的最大值为，其中求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，判断导函数的符号，确定原函数单调区间;
（2）变量分离，构造新函数并求导，然后分类讨论得解.
【详解】
解：（1）
当时，，则在时为减函数
当时，令，解得，
当时，时，，
所以在为减函数，为增函数.
（2）因为的不等式对恒成立，
所以，对恒成立，
令，
即，
令，即，
所以在上递增；
①当，即时，
因为，所以，
当，，即，所以在上递增，
所以，
故；
②当即时，
因为，，即，
所以在上递减，所以，
故；
③当，即时，
因为在上递增，
所以存在唯一实数，使得，即，
则当时，，即；
当时，，即，
故在上单减，上单增，
所以，
所以，
设，则，
所以在上递增，所以.
综上所述，.
【点睛】
方法点睛：不等式恒成立确定参数范围常用方法：①变量分离，构造函数；②对所构造函数求导；③构造函数求导后仍不能判断符号，可设其分子再得新函数，再二次求导讨论.
12．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知函数，其中，是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可求出单调递增区间；
（Ⅱ）先由题中条件，得到对恒成立，令，对其求导，利用分类讨论的方法，结合导数的方法判定函数单调性，得出最值，即可求解出结果.
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，因为，，
所以①当即时，恒成立，即恒成立，
所以单调递增，即的单调递增区间为；
②当即时，方程的两根为：
，，且，
由得或；
由得，
则的单调递增区间为，；
综上当时，的增区间为，
②当时，的增区间为，；
（Ⅱ）关于的不等式对恒成立，等价于对恒成立，
因为，，所以，
令，
则，
令，则在上恒成立，
所以在上递增；则，即；
①当，即时，
因为，所以，
当，，即，所以在上递增，
所以，
故；
②当即时，
因为，，即，
所以在上递减，所以，
故；
③当，即时，
因为在上递增，
所以存在唯一实数，使得，即，
则当时，，即；
当时，，即，
故在上单减，上单增，
所以，
所以，
设，则，
所以在上递增，所以．
综上所述，．
【点睛】
思路点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
13．（2021·全国·高三专题练习）已知函数其中
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；（3）.
【分析】
（1）当时，求得，得到，即可求得切线的方程；
（2）当时，求得，令，得到，结合，再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（3）由题意得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数，可得，则，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，函数，可得，
令，则，所以函数在上单调递增，
又由，
则令，可得，所以函数在上单调递增，
令，可得，所以函数在上单调递减.
综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由，得在上恒成立，
设，则，
由，解得，（其中），
随着变化，与的变化情况如下表所示：
0
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以函数的最小值为.
由题意得，即 .
设，则.
因为当时，； 当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，.
所以当，，即，时，有最大值为.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
14．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1) 当时， 在上单调递减；当，的单调递增区间为；单调递减区间是和；当， 的单调递增区间为，单调递减区间是和；（2）.
【详解】
试题分析：（1）求出的导数，通过的讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）由题意可得恒成立，令，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论.
试题解析：（1），
，
①当时，，∴在上单调递减；
②当，由解得，∴的单调递增区间为，
单调递减区间是和；
③当，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和.
（2）∵恒成立，∴恒成立，
即恒成立，
，
∴在上递增，上递减，∴，
∴，∴，
令，
∴在上递增，上递减，
∴，∴，∴实数的最大值为.
15．（2021·天津河西·三模）已知函数，，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）
【详解】
（Ⅰ） ，则.
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减.
（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.
依题意， ， .
于是与抛物线切于点，
由得.
所以 -
（Ⅲ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时， ”成立.
所以.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时， 的最大值为.-
【点睛】
利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
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