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第22讲 零点问题之两个零点
1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由，解得或，
若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或；
由，可得；
即有在，，递增，
在，递减；
若，由，可得或；
由，可得
即有在，，递增；在，递减；
综上：当时，在递减；在递增；
当时，时，在上递增；
时，在，，递增，在，递减；
时，在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，
且（1），（2），故在上存在1个零点，
取满足，且，
则（b），
故在是也存在1个零点，
故时，有2个零点；
②当时，，所以只有一个零点，不合题意；
③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；
若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，
当时，在单调增，在，递减，在，递增，
极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；
综上，有两个零点时，的取值范围为．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，函数至多有一个零点，不合题意；
当时，，
由于，且，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，
由于，且（由于，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
3．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
①时，，则
时，，在递减，
时，，在递增，
②当时，由得，，
若，则，故在递增，
若，则
当或时，，时，，
故在，递增，在递减；
综上：时，在递减，在递增，
时，在，递增，在递减；
时，在递增；
（2）①时，在递增，不可能有2个零点，
②当时，在，递增，递减，
故当时，取极大值，极大值为，
此时，不可能有2个零点，
③当时，，由得，
此时，仅有1个零点，
④当时，在递减，在递增，
故，
有2个零点，，
解得：，，
而（1），
取，则（b），
故在，各有1个零点，
综上，的取值范围是，．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由得或；
若，则，当时，，当时，；
，恒成立，即有在上递增；
若时，则；由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；
在，递减；
若，则，由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得当时，在递减；在递增，
且，，取满足且．则，
有两个零点；
②当时，，所以只有一个零点；
③当时，
若时，由（1）知在，递减，
在，，递增，
又当时，，所以不存在两个零点；
当时，由（1）知，在单调增，又当时，，故不存在两个零点；
综上可得，有两个零点时，的取值范围为．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，；
，（2分）
当时，，则在内单调递减；（3分）
当时，则在内单调递减，在，内单调递增；（5分）
备注：求导正确给1分，因式分解正确得2分；
（2）由（1）知，当时，在内单调递减，最多只有一个零点，舍去；（5分）
时，；（7分）
当时，；
当时，；
当，令（a），
则（a），
（a）；（10分）
则（a）在上单调递增；
又（1），解得；
当时，函数有两个不同的零点．（12分）
备注：其他解法也可以酌情相应给分．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
若，当时，，递减，
时，，递增，
当时，令，解得：或，
若，，恒成立，在递增，
若，，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
若，，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
综上：若，在递减，在递增，
若，在递增，
若，在递增，在递减，在递增，
若，在递增，在递减，在递增；
（2）当时，，
令，解得：，此时1个零点，不合题意，
当时，由（1）可知，
在递减，在递增，
有2个零点，必有，即，
而（1），
故当时，个零点，
当时，，
取，则，
故当，时，个零点，
故当时，个零点，符合题意，
当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意，
当时，在递增，在递减，在递增，
，
，故，
此时，至多1个零点，不合题意；
当时，在递增，在递减，在递增，
，
此时，最多有1个零点，不合题意，
综上，若有2个零点，
则的范围是，．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），，△，
①当△即时，恒成立，故在上单调递增，
②当△时，即或时，方程的两根分布为，，
当时，，，
结合二次函数的性质可知，时，，函数单调递增，
，时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
时，，，
结合二次函数的性质可知，时，，函数单调递增，
（2）因为，则，
当时，，，则，即在上单调递增且，
故在上没有零点，
因为有两个零点，
所以在时有两个零点，
，，
当时，，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；
当时，易得，函数在上单调递减，在，上单调递增，
又时，，时，，
故，
解可得，．
综上可得，的范围．
9．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
【解答】解：（1）时，．
令，，解得．
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
（2）．
时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，由（1）可知：时，函数取得极小值，
有两个零点，，
令（a），（1）．
（a），函数在上单调递增，
．
又时，；时，．
满足函数有两个零点．
的取值范围为．
10．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），（1分）
①当时，恒成立，令，则，所以的单调增区间为．
同理可得的单调减区间为． （2分）
②当时，令，则或．
（ⅰ）当，即时，令，则或，
所以的单调增区间为和． （3分）
同理的单调减区间为；
（ⅱ）当，即时，
当时，，，所以，同理时，．
故的单调增区间为； （4分）
（ⅲ）当，即时．令，则或，
所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为． （5分）
综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为． （6分）
（2）因为，所以有一个零点，（7分）
由于有两个零点，所以只有一个不是1的零点，
解法1：令，，
（1）当时，恒成立，所以在上单调递增，
对任意，，，
由零点存在定理在上存在零点，
因为在上单调递增，所以只有一个不是1的零点，
所以当时，满足题意．（8分）
（2）当时，无零点，舍去．
（3）当时，令，解得；
令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以在取得极小值，也是最小值．
所以函数，（10分）
依题意只有一个不是1的零点，
由于当时，，且在上单调递减，在上单调递增．
则或
解得或，（11分）
综上所得，的取值范围为，． （12分）
解法2：当时，，所以不是的零点，则，（8分）
令，所以，
令，则且；令，所以，
所以在、上单调递增，在上单调递减，（9分）
所以在处取得极大值，极大值为，（10分）
由可知，当时，；当时，； （11分）
因为只有一个零点，所以与只有一个交点，
由图象可得，或，
又（1），所以与只有一个不是1的交点，
所以的取值范围为，． （12分）
11．已知函数．
（Ⅰ）若时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设，若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：，，，，
对于，△，
当，时，△，，递增；
当，时，△，设对应方程的根为，，由，，得，，
故在，递增；在递减；
由，，，
当时，，在递增，至多有一个零点，不符合题意；
当时，当时，递增；当，时，递减，
，所以，
当时，，（1），，，
构造函数，因为指数函数比幂函数增加的快，易知递增，
所以，（a）（e），所以，
所以，
故函数在和，各有一个零点，
所以．
12．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数定义域为，且当时，，
，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以函数在时取得最小值，且最小值为（1）．
（2）由题意知函数，，所以．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若，在上恒成立，所以在单调递增．
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增．
（3）因为，，令，
因为，所以△，
所以方程有两个不等实数根，设为，，．
又因为，所以，
所以在上，，在，上，，
即在上，，在，上，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数最小值为．
因为，所以，所以，
令，所以，
从而函数在上单调递减，且（1），
所以对，，时，，
所以当时，因为，所以，所以，所以，此时函数无零点，不合题意．
当时，函数有一个零点．
当时，，则，结合，
则需证明存在时，使得即可．
因为（构造易证明），
所以，
则时，，即存在使得，
故当时函数有两个零点．
综上，正实数的取值范围为
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第22讲 零点问题之两个零点
1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
3．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．
9．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
10．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
11．已知函数．
（Ⅰ）若时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设，若有两个零点，求的取值范围．
12．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围．
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