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第21讲 零点问题之一个零点
1．已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围．
2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
3．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
，；
②，．
4．已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，．
5．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间，上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．
6．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
7．已知函数．
（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
8．已知函数，其中．
（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性．
（Ⅱ）证明：存在，使得在上恒成立，且在区间内有唯一解．
9．已知函数，函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数与函数的图象有仅有一个公共点，，证明：．
10．已知函数是偶函数，且时，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）比较（2）与大小；
（Ⅱ）设（其中，，若函数的图象与函数的图象有且
仅有一个公共点，求实数的取值范围．
11．已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，，证明：有且仅有一个零点．
12．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围．
13．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有且仅有一个零点，求的取值范围
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第21讲 零点问题之一个零点
1．已知，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知：，
令．
当，，
此时，在，单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当，，
此时，在上单调递增，在单调递减．
综上，当时，的增区间为，的减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的增区间为，的减区间为．
（2）由题可得：
（a）；
由（1）可得：
当时，，所以仅在有一个零点，满足要求；
当时，仅有一个零点，满足要求；
当时，，又在上仅有一个零点，则（a），即，
综上，若在上仅有一个零点，则的取值范围时．
2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
是函数的一个极值点，则．
，．
，
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，．
在，上单调递减，在递增．
综上，当时，在上单调递减．
当时，在，上单调递减，在递增．
（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，
令，，令，可得或．
时，，时，，时，
在递增，在，递减，
且时，，时，
或．
，或
所以，的取值范围，．
3．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解答】解：（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到．
在 上有一个零点；
，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另解：当，时，有，，
而，于是
，
所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
4．已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，．
【解答】（Ⅰ）解：，
则，
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递增；
若，则当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；
若，则当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）证明：由（1）可知，当时，在，单调递减，在单调递增，
所以（a），
又，
所以存在唯一正零点，
故有唯一正零点；
（ⅱ）证明：设，
则，
当时，，
当时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为，
所以要证明，，
只需要证明，
即证，即证，
因为，即，
所以只需证，即证，
因为在单调递增，
所以只需证明，
因为，
所以只需证明，
因为，
设（a），
则（a），
所以（a）在上单调递增，
所以（a），
所以，
所以原不等式得证．
5．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间，上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，的定义域为，
，
故在上是减函数，在，上是增函数；
故在时取得极小值；
（2）函数的定义域为，
，
令，则，
当时，在恒成立，
故在上是增函数，
而，
故当，时，恒成立，
故在区间，上单调递增，
故在区间，上没有极值点；
当时，由（1）知，在区间，上没有极值点；
当时，令解得，；
故在上是增函数，在，上是减函数，
①当（e），即时，
在，上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令得，不可能；
③令（e）得，所以，，
而，
又，
所以在，上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
综上所述，实数的取值范围是，．
6．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
【解答】解：（1）当时，，
所以时，令解得，
当，，时，，函数是增函数，
当时，，函数是单调递减，
综上，增区间，，，减区间．
（2）证明：因为，
所以等价于，
令，
则，仅当时，，所以在上是增函数；
至多有一个零点，从而至多有一个零点．
又因为，
，
故有一个零点，
综上，只有一个零点．
7．已知函数．
（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
【解答】解：（Ⅰ）由所以，即化简得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由基本不等式得，则得，则设，，，在上单调递增，所以，
所以；
（Ⅲ）记，，令，记，则△，
①当时，，有，单调递减，当，；当，所以取，时，有，又，所以有唯一零点．
②当时，△，令，解得，，则当和时，单调递减，当，单调递增，
记，，则，记，注意，所以，，则，所以，
又，，且，结合单调性，可知有唯一零点．
综上可知，若，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
8．已知函数，其中．
（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性．
（Ⅱ）证明：存在，使得在上恒成立，且在区间内有唯一解．
【解答】解：函数，其中．可得：．
，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
证明：由，解得，
令，
则（1），（e），
存在，使得，
令，其中，
由，可得：函数在区间上单调递增．
（1）（e），即，
当时，有，．
再由可知：在区间上单调递增，
当时，，；
当，时，，；
又当，，．
故当时，恒成立．
综上所述：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．
9．已知函数，函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数与函数的图象有仅有一个公共点，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），，
，
令，
①当时，的对称轴，，，即单调递增，
②当时，二次函数的△，，即单调递增，
③当时，有两根，设为，，
当，，时，，，即单调递增，
当，时，，，即单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，
在，上单调递减，
证明：（Ⅱ）令，，
由题意知函数有且只有一个零点，
，
，
为上的增函数，易知其值域为，
在上有唯一的零点，且当时，，
当，时，，
故为的最小值，
又函数有唯一的零点，结合图象可知，
，且，
即，
消去可得，
整理可得，
令，显然是的零点，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（1），
（2），
在内有一个零点，在，内无零点，
的零点一定小于2，
从而函数与函数的图象有仅有一个公共点，时，一定有．
10．已知函数是偶函数，且时，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）比较（2）与大小；
（Ⅱ）设（其中，，若函数的图象与函数的图象有且
仅有一个公共点，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数是偶函数，且时，，
可得在时递减，时递增，
由（3），可得（2）（3），
即有（2）；
（Ⅱ）设（其中，，
若函数的图象与函数的图象有且仅有一个公共点，
即为在时有且只有一个实根，
可得在时有且只有一个实根，
可令，则，
，在时，，递减，
可得，，
则，即，．
另解：令，则，
可令，
可得，由在递增，
可得在递减，可得，，
则，即，．
11．已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，，证明：有且仅有一个零点．
【解答】解：（1）证明：当时，等价于．
设，
当时，，单调递增，
故（1），
，即．
于是当时，．
（2）证明：定义域为，，
若，当或时，，
当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增．
，
因为，，所以，
当满足且时，
由（1）可知，
因此有且仅有一个零点．
12．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
所以，
又，
所以在，处的切线方程：，即．
（2）当时，，
，
所以在，上，，单调递增，
在，，，上，，单调递减，
所以单调递增区间为，，
单调递减区间为，，，．
（3）当时，令，
得，
所以，
令，，
当，时，，，即，
所以在，上单调递增，
又，，
若在区间有一个零点，
则，
故的取值范围，．
13．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有且仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）时，，定义域为，．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，．
当时，，单调递增，
所以，的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（2），令，，
易知，即有一个零点0，
要使只有一个零点，只需要没有零点或只有唯一零点0．
①若，则无零点，符合题意；
②若，，则在上单调递增，，，
则在区间有且只有一个零点，不符合题意：
③若，则在上单调递减，在单调递增，，
若没有零点，只需要，解得；
若有零点0，由，则，此时，，在上单调递减，在单调递增，
，，
则在区间有且只有一个零点，不符合题意．
综上，有且仅有一个零点时，
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