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第23讲 零点问题之三个零点
1．已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
当时，在上递减，在上递增，
所以在处取得极小值，
当时，，所以无极值，
当时，在上递增，在上递减，
所以在处取得极大值．
（2）设，即，
．
①若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，至多有两个零点．
②若，则，（仅（1），
单调递增，至多有一个零点．
③若，则，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使有三个零点，必须有成立．
由（1），得，这与矛盾，所以不可能有三个零点．
④若，则．当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使有三个零点，必须有成立，
由（1），得，
由及，得，
．并且，当时，，，
，
．
综上，使有三个零点的的取值范围为．
2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间和极值
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，没有极大值，
由）整理可得，
令，则可得，
易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
故时，函数取得最小值即，
故原方程可转化为，
令，则，
因为，
易得当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值（1），当时，函数取得极小值（e），
由题意可得，与个交点，则，
解可得，，
故的范围．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）．，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在，递减，在，递增，
综上，时，在递增，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（2）由（1）得：，，，
若有三个零点，
只需，解得：，
故．
4．已知函数，，为的导函数．
（1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证：；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，，
，
，
令，解得．
可得函数在上单调递减，在，上单调递增．
，
①令，化为：，解得．
时，，函数在上单调递增．
令，化为：，解得．
时，；时，．
存在，使得．
可得：函数在单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
综上可得：时，函数在上单调递增．
时．函数在单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
其中．
②由上面可得：时，取得最小值，，令．
，令，解得．．
．
（2）函数，，
（2），不是函数的零点．
由，化为：．
令，可得．
可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（4）．
画出图象：可得．
的取值范围是，．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，定义域为，
，
①当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，由，解得或，
（ⅰ）当时，在上单调递增；
（ⅱ）当时，当，则，当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
（ⅲ）当时，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
（2）函数，
则，即有一个零点0，
令，
要使有三个零点，只需要有两个不为0的零点，
若的零点为0，即，解得，
此时有两个零点，但有一个零点是0，此时只有两个零点，故；
又，
①当时，，则在上单调递增，故至多有一个零点，不合题意；
②当且时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
（ⅰ）当时，，故至多有一个零点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当且时，，
因为，所以在上有唯一零点，
由（1）知，当时，，
则当且时，，
所以在上有唯一零点，
从而在上有两个零点，此时有三个零点．
综上所述，恰有三个零点时的取值范围是．
6．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知函数，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
令，得，
当时，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上递减，在上递增；
当时，，故函数在上递减，在上递增．
（2）由已知在有且仅有一个零点，
①当时，，由，得，
此时有三个零点；
②当时，，得，
故函数在在上递减，在上递增，
，
当时，，故在，上仅有一个零点，
若函数有有三个零点，
则需满足，解得；
③当时，
若，则为单调函数，
所以函数至多有2个零点，不合题意，舍，
若，故在至多有1一个零点，
所以函数至多有2个零点，不合题意，舍，
当（1），即时，函数至多有2个零点，不合题意，舍，
当（1），即时，，
函数恰有3个零点，符合题意，
当（1），即时，，
令，则，
故在单调递减，，即，
此时函数有4个零点，不合题意，舍；
综上，实数的取值范围是．
7．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）存在正实数使得函数有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），（1分）
①当时，恒成立，则在上单调递增；（2分）
②当时，得：．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，（3分）
综上，时，的增区间为．
时，的增区间为，减区间为．（4分）
（Ⅱ）由题易知，
即有三个解，，即仅有三解，
设，，可得，即．（6分）
设，则，得．时，，单调递增，（5分）
， 时，，单调递减（同时注意时，，
当时，恒成立，此时均符合条件；
当时，由两个根不妨设为，且．（7分）
有两根，不妨设为，则，则；
容易分析出在，，单调递增，，单调递减，
则当时，．（8分）
这里需要求和的取值范围．
由上面分析可得，则．
，．
设，，；易知在上单调递增，
，则．．（10分）
同理，．（11分）
由上面分析在，单调递减，且时，，
．．
综上：．（12分）
8．设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解答】（1）解：由，得，
，即；
（2）证明：法一、设为的一个零点，根据题意，，且，
则，且，
令，
，
当，，时，，当，时，
可知在，，上单调递减，在，上单调递增．
又，（1），，，
．
设为的零点，则必有，
即，
，得，
即．
所有零点的绝对值都不大于1．
法二、由（1）可得，．
，
可得当，，时，，当，时，，
则在，，上单调递增，在，上单调递减．
且，，，（1），
若的所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或（1）．
即或．
当时，，，，（1），
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．
即在上存在唯一零点，在上不存在零点．
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，，，（1），
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．
即在上存在唯一零点，在上不存在零点．
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
9．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）设是与无关的常数，，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，，，，求的值．
【解答】解：（1），
当时，，
则在上，，单调递增；在上，，单调递减；
当时，，单调递增；
当，即时，则在上，，单调递增；
在和上，，单调递减；
当，即时，则在上，，单调递减；
在和上，，单调递增；
当，即时，则在上，，单调递减；
在和上，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）当，1时，函数有两个极值和，
若函数有三个不同的零点，即，
因为，所以恒成立，
又因为的取值范围恰好是，
所以令（a），
恰有三个零点，
若时，，即；
当时，（a）
，
的取值范围是符合题意；
当时，（a），
即，的取值范围是矛盾，
所以．
10．已知函数，．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）设，，，是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）函数，．
；
讨论：（1）当时，，即：得：；
若，即：时，不等式解集为：；
若，即：时，不等式解集为：；
（2）当时，，即：，
若△，即：时，无解，
若△，即：时，
由，得：，
又因为：，
，
不等式解集为：；
综上：（1）、（2）可知：当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
（Ⅱ）存在使得其中三个零点成等差数列；
因为：，
函数有四个不同的零点，
所以：△且，
；
不妨设：，则：，，
①若，，，成等差数列，则：，此时，，不合题意
②若，，，成等差数列，同①知不合题意
③若，，，成等差数列，则：，
所以：，
，
；
或均舍去
④若，，，成等差数列，则：，
，
，
；
所以：或（舍去）
综上可知：存在符合题意．
11．设函数．
讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，讨论的零点个数．
【解答】解：．
①当时，，当时，，
当时，，当时，．在递增
②当时，令，得，此时．
易知在递增，，递减，递增
③当时，．易知在递增，递减，，递增
（Ⅱ）当时，由知在上递增，上递减，，上递增，
且，将代入，
得，，
下面证明当时存在，使．
首先，由不等式，，，．
考虑到，．
再令，可解出一个根为，，，，就取．
则有．由零点存在定理及函数在上的单调性，可知在上有唯一的一个零点．
由（1），，及的单调性，可知在上有唯一零点．
下面证明在，上，存在，使，就取，则，，
由不等式，则，即．
根据零点存在定理及函数单调性知在，有一个零点．
综上可知，当时，共有3个零点．
12．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1）当时，，导数为，
可得曲线在处的切线的斜率为，
切点为，
则方程为，即为．
（2）显然，函数的定义域为，
，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值且（a）．
当，即时，（a），
于是，即，在上单调递减，且（a），则只有一个零点．
当，即时，（a），（1），
令（a），则（a），
所以（a）在，．上单调递减，（a），即（1）．
又（a），在上单调递增，所以存在，使得，
当时，，当时，，
即当时，，当时，．
另一方面，，
又（a）且在上单调递减，所以存在，使得，
当时，，当时，，
即当时，，当时，，
因此，当时，，当时，，当时，，
即在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减．
由于（a），且，所以在，上有唯一零点，且，，
又（1），所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点，
又，所以在，上有唯一零点，即在，上有唯一零点，
故当时，函数有三个零点．
综上，当时，函数有一个零点；当时，函数有三个零点．
13．已知函数．
（1）若函数在处的切线方程为，求实数，；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
函数在点处的切线斜率为，
切线方程为，即，
又函数在处的切线方程为，
，解得；
（2）已知，则，
令，即，
，
可得当，，时，，当时，，
函数在单调递增，单调递减，单调递增，
的极大值为，极小值为，
要想函数有三个零点，则，
即，解得．
14．已知函数，对，，都有恒成立，且（2）．
（1）求的解析式；
（2）若函数，有三个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，对，，都有恒成立，
令，，则（2），
又（2），所以，
令，则，
所以；
（2）函数，
令，由题意，
所以，
当，方程有一根，
当，方程有两根，
令，
所以方程有两不等实根，且，或，，
记，
所以的零点情况：
①当，时，，解得；
②当，时，，解得．
综上所述，的取值范围为．
15．已知，．
（Ⅰ）讨论在区间，上的单调性；
（Ⅱ）若，且在，上有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），，
当，即，在，恒成立，所以在，上单调递增，
当，即，令，解得，
若时，则在，恒成立，所以在，上单调递增，
若时，则当，时，，当，时，，
所以，在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，在，恒成立，所以在，上单调递减，
综上可知，当时，在，上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，在，上单调递减；
（Ⅱ）由题意可知，，
则，
整理得，
所以，
因为，（1），在，上有三个零点，
所以在只有一个零点，且不单调，
，
由（Ⅰ）可知：
当时，在，上单调递增，，（1），
所以存在，使得，所以在上单调递减，在，上单调递增，
此时在，上有两个零点，不符合题意；
时，在，上单调递减，同理可得在，上有两个零点，不符合题意；
当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
，
令（a），（a），得，
当时，（a），
当时，（a），
，即，
又，（1），
在只有一个零点，只需，
，又，
所以的取值范围为：．
16．已知二次函数的图象与直线只有一个交点，满足，且函数是偶函数，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若对任意，，，，恒成立，求实数的范围；
（3）若函数恰好三个零点，求的值及该函数的零点．
【解答】解：（1）因为是偶函数，所以，
所以的图象关于对称，
又二次函数的图象与直线只有一个交点，
设，
又因解得，
所以．
（2）由（1）得
因为在区间，单调递增
所以，
所以即
所以且，
所以或，
所以的取值范围为，，．
（3）令，
由得得即，
因为函数有三个零点
所以的一个零点为
所以，
当时，由得，，
当时，；当时，；
所以，
所以函数的零点为0，
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第23讲 零点问题之三个零点
1．已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间和极值
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
4．已知函数，，为的导函数．
（1）讨论的单调性，设的最小值为，并求证：；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围．
6．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知函数，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围．
7．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）存在正实数使得函数有三个零点，求实数的取值范围．
8．设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
9．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）设是与无关的常数，，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，，，，求的值．
10．已知函数，．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）设，，，是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
11．设函数．
讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，讨论的零点个数．
12．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
13．已知函数．
（1）若函数在处的切线方程为，求实数，；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
14．已知函数，对，，都有恒成立，且（2）．
（1）求的解析式；
（2）若函数，有三个零点，求的取值范围．
15．已知，．
（Ⅰ）讨论在区间，上的单调性；
（Ⅱ）若，且在，上有三个零点，求实数的取值范围．
16．已知二次函数的图象与直线只有一个交点，满足，且函数是偶函数，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若对任意，，，，恒成立，求实数的范围；
（3）若函数恰好三个零点，求的值及该函数的零点
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