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第26讲 拐点偏移问题
1．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若正实数，满足，求证：．
【解答】解：（1），，，
（1），（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为，
即；
（2）证明：因为，在上单调递增．
由（1），正实数，满足，
所以不妨设，
记，，
，在，上单调递增．
因为，，（1），
所以，即，
所以，根据单调递增，得，
即原命题成立．
2．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．
【解答】解：（1），
，在递减，在递增，
且
当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，的根为，
时，函数在，，上单调递增，在单调递减；
时，函数在，上单调递增，在，单调递减；
证明：（2），．
由，即，
从而，（8分）
令，则由得：
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（1），（10分）
，
，
又，，．
3．已知函数，．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，
因为在处取得极值，所以（1），解得：．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．
（Ⅱ）因为，
所以，
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当，时，，
函数在，上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅲ）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以，
令，，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，，
所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．
所以，
即，
所以或，
因为，为正实数，所以当时，，
此时不存在，满足条件，
所以．
4．已知函数，且为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，且，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：，
由为增函数可得，恒成立，即，得，
设，则，
由，得，由，得．
在上减，在上增，在1处取得极小值即最小值，
（1），则，即，
当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，
；
由可得，，即，
由之前讨论可知，，当时，恒成立，
当时，由，得，
综上；
（Ⅱ）证明：，
，
，
，
即，
则
，
令，，
则，在上增，在上减，（1），
，
整理得，
解得或（舍，
．
5．已知函数．
（1）若（1），求函数的单调减区间；
（2）若，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1）因为（1），
所以，解得，
所以，
，
令，得，
所以的单调递减区间为．
（2）证明：时，
所以，
所以
，
令，
则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以（1），
所以，
即，
因为，是正实数，
所以．
6．已知函数，，，令．
（Ⅰ），研究函数的单调性；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ），正实数，满足，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），，
由，得，又，
所以，所以的单增区间为．
（Ⅱ）方法一：令，
所以．
当时，因为，所以．
所以在上是递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，．
令，得，所以当时，；当时，．
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，，
又因为在上是减函数，
所以当时，．所以整数的最小值为2．
方法二：（2）由恒成立，
得在上恒成立．
问题等价于在上恒成立．
令，只要．
因为，令，得．
设，因为，
所以在上单调递减，不妨设的根为．
当时，；当，时，．
所以在上是增函数；在，上是减函数．
所以．
因为，
所以．此时，．
所以，即整数的最小值为2．
（Ⅲ）当时，，，
由，即，
从而
令，则由得，，
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），所以，
即成立．
7．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），，
，
当时，，．在上是递增函数，
即的单调递增区间为，无递减区间．
当时，，令，得．当时，；
当，时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为，．
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（Ⅱ）当时，，
正实数，满足，
，，
，
令函数，，则，
时，，时，，
（1），
．
则，或 舍去）．
，
，
8．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若正实数，满足，证明．
【解答】解：（1）函数的导数为，
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为；
（2）关于的不等式恒成立，
即为恒成立，
令，
，
所以，
由，
由于，，递增，无最大值，故不成立；
则，由，递减，
，递增，
可得处取得极大值，且为最大值
，
即有，
则恒成立，
可得整数的最小值为2；
（3）证明：由正实数，满足，
即，
从而．
令，则由得，，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
9．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明．
【解答】解：（Ⅰ），
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为，函数的增区间是．
（Ⅱ）令，
所以．
因为，
所以．
令，得．
所以当，；
当时，．
因此函数在是增函数，在，是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，
又因为（a）在是减函数．
所以当时，（a），
即对于任意正数总有．
所以关于的不等式恒成立．
（Ⅲ）由，
即，
从而．
令，则由得，．
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
10．已知函数．
（1）若（1），求函数 的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值：
（3）若，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1），（1），
，且．
，
，
当，即时，函数的单调递减，
函数的单调减区间．
（2）令，
则，
当时，在上，函数单调递增，
且（1），不符合题意，
当时，函数在时取最大值，，
令（a），
则根据基本函数性质可知，在时，（a）单调递减，
又（1），（2），
符合题意的整数的最小值为2．
（3），
，
令，则，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
（1），
，
即，
又，是正实数，
，
又因为，
所以（12分）
11．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1），，
，（1分）
当时，，．在上是递增函数，
即的单调递增区间为，无递减区间．（3分）
当时，，令，得．当时，；
当，时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为，．（5分）
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（6分）
（2）当时，，
正实数，满足，
，
令函数，，则
时，，时，
（1）
．
则，或（舍去）
．
．
12．已知函数，，当时，恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）若正实数、满足，证明：．
【解答】解：
（1）当时，，（1）．
当时，成立．分
当时，存在大于1的实数，使得
当时，成立．
在区间上单调递减；
当时，（1）；
不可能成立．
所以．分
（2）不妨设
正实数、满足，
有（1）可知，；
又为单调递增函数，
所以
又
所以只要证明：分
设则，
可得
当时，成立
在区间上单调增函数．
又（1）
当时，成立，即．
所以不等式成立．
所以．分．
13．已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在实数，满足，求证：．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．（3分）
（2）因为，
所以
（4分）
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当时，，
函数在上单调递减．（5分）
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；（8分）
（3）证明：当时，
因为，
所以，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．（10分）
所以，
即，所以（11分）
当时，此时不存在，满足等号成立条件，
所以．（12分）
14．已知函数，其定义域为．（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【解答】解：（1）易知，
①若，由，解得：，
故函数在递增，
②若，令，解得：，或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
③若，则，
故函数在递增，
④若，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增，
综上，若，在递增，
若，在，递增，
若，在递增，
若，在，，递增；
（2）函数在递增，
，即，
注意到（1），故（1），
即证，即证，
令，，
只需证明（1），
故，
下面证明，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
故，
易知当时，，
故，
故，
故，即递增，即（1），
从而．
15．已知函数．
（Ⅰ）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）设，当时，若，且，求证：．
【解答】解：（1）函数在上是单调递增函数，
在上，恒成立，
即：；（2分），
设，；
则，
当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，
（1），
，
，即，；（4分）
（2）方法一：因为，
所以，
所以在上为增函数，（6分）
因为，
即，
所以和同号，
不妨设，，（8分）
所以，
因为，，
所以，在上为增函数，（10分）
所以，，
所以，
所以，即；（12分）
方法二：
，，，
，
，
设，
则，
，在上递增且（1）；（6分）
令，，
设，；（8分）
；
，，
且，
，在上递增，
，
，；（10分）
令，，
即：，
又，
，
即：，
在上递增，
，即：．（12分）
16．已知函数有最大值，，且是的导数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：当，时，．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，．（1分）
当时，，在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；（2分）
当时，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，（3分）
，，（4分）．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．
，，在上单调递增．（6分）
又，且，．（7分）
，当时，，单调递增，
要证，即（2），
只要证，即．（8分），，
所以只要证，（9分）
设（其中，
，
在上为增函数，（11分）
（1），故式成立，从而．（12分）
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，分别解答下面两题：
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
若，是两个不相等的正数，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）函数．
的定义域为，，
令，，，
①当时，在恒成立，
递增区间为．
②当时，，
，
又，的递增区间是，递减区间是，．
（Ⅱ）设，
，
，在上恒成立，
在上单调递减，
，
，即的取值范围是，．
证明：（1），在上单调递增．
①若，，则，，
则与已知矛盾；
②若，，则，，
则与已知矛盾；
③若，则，又，，
，与矛盾；
④不妨设，
则由（Ⅱ）知当时，，
令，则，
，
又在上单调递增，
，．
18．已知函数．
（1）若曲线在，处的切线与直线平行，求的单调区间；
（2）当时，若，且，证明：．
【解答】解：（1），
，故，
，
令，得或，令，得，
的单调增区间，，单调递减区间是；
（2）证明：，，
令，则，
在递增，
，
，
与同号，
不妨设，设，
则，
，，
，在递增，
，，
，
又在递增，
，即
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第26讲 拐点偏移问题
1．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若正实数，满足，求证：．
2．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．
3．已知函数，．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．
4．已知函数，且为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，且，求证：．
5．已知函数．
（1）若（1），求函数的单调减区间；
（2）若，正实数，满足，证明：．
6．已知函数，，，令．
（Ⅰ），研究函数的单调性；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ），正实数，满足，证明：．
7．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，正实数，满足，证明：．
8．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若正实数，满足，证明．
9．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明．
10．已知函数．
（1）若（1），求函数 的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值：
（3）若，正实数，满足，证明：．
11．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，正实数，满足，证明：
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