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第27讲 导数斜率型问题
1．函数，其中．
（Ⅰ）试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）已知当（其中是自然对数的底数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，对任意，，，有．
2．已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，，有，求实数的取值范围．
3．已知函数．
（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．
（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．
4．已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
5．已知函数 ．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
6．已知函数在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
7．已知函数为非零常数）．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）对于增区间内的三个实数，，（其中，证明：．
8．已知函数．
（1）若对任意的，都有，求的值；
（2）对于函数的单调递增区间内的任意实数，，，证明：．
9．已知函数，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在函数的图象上取定两点，，，，记直线的斜率为，问：是否存在，，使成立？若存在，求出的值（用，表示）；若不存在，请说明理由．
10．已知函数，其中．
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合．
（2）在函数的图象上取定两点，，，，记直线的斜率为，问：是否存在，，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
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第27讲 导数斜率型问题
1．函数，其中．
（Ⅰ）试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）已知当（其中是自然对数的底数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，对任意，，，有．
【解答】解：（Ⅰ），
；
①当，即时，，
故在，上是增函数；
②当，即时，
故在，，上是增函数；
在，上是减函数；
③当时，
在，，，上是增函数；
在上是减函数；
（Ⅱ），
，
故在上至少存在一点，使成立可化为
，
即，
故；
（Ⅲ）证明：当时，
在上是减函数，
在，上是增函数，
且，（1）；
故，任意，
而由导数的定义可得，
对任意，，，有．
2．已知函数在点，（1）处的切线与轴平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，，有，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
，
令（1），
，
解得；
令，则，
解得，
即有极小值为（1）；（6分）
（2）由，可得，
令，则，其中，，
，又，，则，
即，
因此实数的取值范围是，．（12分）
3．已知函数．
（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围．
（2）如果对任意、，，有，求实数的取值范围．
【解答】（1）函数 的定义域为，
；，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，则极大值为（1），
当 时，； 当 时，，
由，得 在区间上存在唯一零点，则函数 的图象大致如下图所示
在区间 上同时存在函数 的极值点和零点，
，解得，
艮．
（2）由（1）可知，函数 在， 上单调递减，
不妨设，由，得，
，
令，
函数 在， 上单调递减，
则 在， 上恒成立，
即 在， 上恒成立，
又因为当， 时，的最小值为，
，
故实数的取值范围为，．
4．已知函数，，，是两个任意实数且．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：．
【解答】解：（1）因为，（1分）
则切线的斜率为，切点为，
所以函数的图象在处切线方程为；（3分）
（2）由得，
因为函数在实数集上是增函数，
所以恒成立，（5分）
则恒成立，
令，
由得，（7分）
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；
所以当时，函数，
故实数的取值范围是．（9分）
（3）要证明，即证明，
只需证明，不妨设，，
只需证明，
只需证明对恒成立，（11分）
设，
则，
设，当时恒成立，
则递增，，即，（13分）
则，故函数递增，有恒成立，
即对恒成立，
所以，即．（16分）
5．已知函数 ．
（1）判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，求证：．
【解答】解：（1），，
故（2分）
因为，所以当时，，函数在上单调递增；
当时，当，函数单调递增，
当，函数单调递减； （4分）
（2）对任意，不等式对任意的，不等式恒成立，
在上恒成立，进一步转化为，（5分）
设，当时，；
当时，，当时，． （7分）
设，当时，，
当时，，所以时，，（9分）
即，所以实数的取值范围为（10分）
（3）当时，等价于．（11分）
令，设，则，
当时，，，（13分）
在上单调递增，（1），
． （14分）
6．已知函数在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）若对任意，，有，求实数的取值范围．
【解答】解（1）由题意得，，
点，（1）处的切线与直线平行．
又（1），即，解得．
令，
解得：，
当，解得：，
函数在上单调递增，
当，解得：，
函数在上单调递减，
在时取极小值，极小值为．（6分）
（2）由，可得，
令，则，其中，，，
又，，则，
即，
实数的取值范围是，．（12分）
7．已知函数为非零常数）．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）对于增区间内的三个实数，，（其中，证明：．
【解答】解：，
，
令，得，
当，，可得在单调递减，当，，可得在单调递增，
的最小值为．
，
①若时，恒小于零，则在上单调递减；
当时，，
不符合恒成立．
②若时，令，得，
当时，，可知在单调递减，当时，，可知在单调递增，
的最小值为，
恒成立，即，
，
构造函数，则有，
，
在上单调递增，在上单调递减，
（1），当且仅当时取得最大值，结合，
，
．
解法
由已知可知，，则，
先证，
，
要证，
只要证，即证，
只要证，即证，
设，
，
在内是减函数，
，
，
，
，
同理可证，
．
解法
令，得，
下面证明，
令，则恒成立，即为增函数，
，
构造函数，，
，
，故时，，即得，
同理可证，
即，
因为增函数，得，即在区间，上存在，使，
同理，在区间，上存在使，
由为增函数，得．
8．已知函数．
（1）若对任意的，都有，求的值；
（2）对于函数的单调递增区间内的任意实数，，，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，，
①若时，恒小于零，则在上单调递减；
当时，，
不符合恒成立．
②若时，令，得，
当时，，可知在单调递减，
当时，，可知在，单调递增，
，
恒成立，即，
，
构造函数，
，
在上单调递增，在上单调递减，
（1），当且仅当时取得最大值1，
，
．
（2）由已知可知，，则，
先证，
，
要证，
只要证，即证，
只要证，即证，
设，
，
在内是减函数，
，
，
，
，
同理可证．
．
9．已知函数，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在函数的图象上取定两点，，，，记直线的斜率为，问：是否存在，，使成立？若存在，求出的值（用，表示）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若，则对一切，，不符合题意，
若，，令可得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值，
由题意可得，有①，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最大值（1），当且仅当即时①成立，
综上；
由题意可知，，
令，则可知在，上单调递增，
且，，
由可知，时取等号，
，，
，，
由零点判定定理可得，存在，，使得且，
综上可得，存在，，使成立
10．已知函数，其中．
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合．
（2）在函数的图象上取定两点，，，，记直线的斜率为，问：是否存在，，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若，则对一切，函数，这与题设矛盾，
，
，令，可得
令，可得，函数单调减；令，可得，函数单调增，
时，取最小值
对一切，恒成立，则①
令，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减
时，取最大值（1）
当且仅当，即时，①成立
综上所述，的取值集合为；
（2）由题意知，
令，则
令，则
当时，，函数单调减；当时，，函数单调增；
时，，即
，
，
，
存在，，（c）
单调递增，故这样的是唯一的，且
当且仅当，时，
综上所述，存在，，使成立，且的取值范围为，
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