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第24讲 最值函数的零点问题
1．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线．
（2）设在，单调递增，求的取值范围．
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
2．已知函数，．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
3．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
4．已知函数，，其中．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，证明；
（Ⅲ）用，表示和中的较大值，设函数，，讨论函数在上的零点的个数．
5．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用，表示，中的最大值，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数，．
（1）证明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
7．已知函数，．
（1）若在区间，上的最大值为，求实数的取值范围；
（2）设，，记，，为从小到大的零点，当时，讨论的零点个数及大小．
8．已知函数．
（1）若，求函数的极大值；
（2）定义函数，，其中表示几个数据中的最大者，为自然对数的底数，当时，试探究函数的零点个数．
9．已知函数，．
（1）若直线与曲线相切，求实数的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
10．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
11．已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
12．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．
13．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．
14．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）用，表示，中的最大值，若函数，只有一个零点，求的取值范围．
15．已知函数．
（1）求证：；
（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．
16．已知函数，．
（1）当，且时，证明：；
（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数
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第24讲 最值函数的零点问题
1．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线．
（2）设在，单调递增，求的取值范围．
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）．
设曲线与轴相切于点，，
则，，
，
解得，，
因此当时，轴为曲线的切线；
（2），
导数为，
由题意可得在，恒成立，
即有的最小值，
由的导数为在递增，
即有最小值为4，
则，解得；
（3）当时，，
函数，，
故在时无零点．
当时，若，则（1），
（1），（1）（1），
故是函数的一个零点；
若，则（1），
（1），（1）（1），
故不是函数的零点；
当时，，
因此只考虑在内的零点个数即可．
①当或时，在内无零点，
因此在区间内单调，
而，（1），
当时，函数在区间内有一个零点，
当时，函数在区间内没有零点．
②当时，函数在内单调递减，在，内单调递增，
故当时，取得最小值．
若，即，则在内无零点．
若，即，则在内有唯一零点．
若，即，由，（1），
当时，在内有两个零点．
当时，在内有一个零点．
综上可得：当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，函数有三个零点．
2．已知函数，．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）若函数的定义域为，
则任意，使得，
所以△，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）若函数在上单调递减，
又因为在上为减函数，
所以在上为增函数且任意，，
所以，且（1），
即，且，
解得，
所以的取值范围为，．
（3）因为当时，，
所以，，
所以在上无零点，
①当时，过点，且对称轴，
作出的图象，可得只有一个零点，
②当时，过点，且对称轴，
当△，即时，只有一个零点，
当△，即时，的零点为，由两个零点，，
当△，即时，令，解得，，且，，
若，即时，函数有3个零点，，，
若，即时，函数有1个零点，
若若，即时，函数有2个零点，，
综上所述，当，，时，只有一个零点，
当或时，有两个零点，
当，时，有三个零点．
3．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，中较大者，记函数，，．若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，在上单调递增，
当时，，
当，，，，单调递增，
当，，单调递减；
（2）当时，，，在无零点，
当时，（e），（e），
若（e），即，则是的一个零点，
若（e），即，则不是的零点，
当时，，所以此时只需考虑函数的零点的情况．因为，
①当时，，在上单调递增．
所以：（ⅰ）当时，（e），在上无零点；
（ⅱ）当时，（e），又，所以此时在上恰有一个零点；
②当时，由（1）知，在递减，，递增，
又因为（e），，所以此时恰有一个零点．
综上，．
4．已知函数，，其中．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，证明；
（Ⅲ）用，表示和中的较大值，设函数，，讨论函数在上的零点的个数．
【解答】（Ⅰ）证明：设函数，则．
令得，则在上，，递增，在上，，递减．
所以（1），即．
（Ⅱ）证明：当时，，
前面的“”仅当时取等号后面的“”仅当时取等号，不能同时取到．
所以．
（Ⅲ）解：在区间上，，所以，，
所以，在区间上不可能有零点．
下面只考虑区间上和处的情况．
由题意的定义域为，．
令可得（负值舍去）．
在上，递增，在，上，递减，．
①当时，，所以（1）．
因为在区间上，，且（1），所以此时存在唯一的零点．
②当时，．因为，所以．
所以．
于是恒成立．
结合函数的性质，可知此时存在唯一的零点．
③当时，，所以在上递增．
又因为（1），，
所以在区间上存在唯一的零点．
结合函数的性质，可知是唯一的零点．
综上所述：当时，在上有唯一的零点；
当时，在上也有1个零点．
5．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用，表示，中的最大值，设函数，，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），（1分）
当时，，，，
当时，，，，
当时，，（2分）
所以当时，，即在上是增函数；（3分）
又（3），所以的解集为．（4分）
（2）．（5分）
由，得，，，（6分）
则，即在上为增函数．（7分）
故，即．（8分）
（3）由（1）知，
当时，恒成立，故恒成立；
当时，，因为，，要使得恒成立，
只要在上恒成立即可．（9分）
由，得．
设函数，，，
则．（10分）
令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：
0
单调递增 极大值 单调递减
所以在上单调递增，在，上单调递减．（11分）
在上唯一的一个极大值，即极大值，故．
综上所述，所求实数的取值范围为，．（12分）
6．已知函数，．
（1）证明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：由题得的定义域为，
则在上恒成立等价于在上恒成立，．（1分）
记，则，．（2分）
当时，；时，，
故在上单调递减，上单调递增，．（3分）
所以（1），即恒成立．（4分）
（2）解：由题得，
①当时，，此时无零点．（5分）
②当时，（e），（e）
．当（e），即时，是的一个零点；
．当（e），即时，不是的一个零点；．（6分）
③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况．
由
．当时，，在上单调递增，且（e），
当时，（e），则在上无零点，故在上无零点；
当时，（e），则在上无零点，故在上有1个零点；
当时，由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（9分）
．当时，由得，
由时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（11分）
综上所述，时，在上恰有两个零点．（12分）
7．已知函数，．
（1）若在区间，上的最大值为，求实数的取值范围；
（2）设，，记，，为从小到大的零点，当时，讨论的零点个数及大小．
【解答】解：（1），
在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，的极小值为（2），
又（3），若在区间，上的最大值为，
则，解得；
（2），
当时，，此时，
在，上有一个零点，；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
由于，（1），时，，
在上有一个零点；
又，
令，，
在，上单调递增，，
，（a）．
再令，，，
在，上单调递增，从而（2），
在，上单调递增，（2），则（a）．
在上有一个零点，
综上所述，当时，有三个零点，，．
且．
8．已知函数．
（1）若，求函数的极大值；
（2）定义函数，，其中表示几个数据中的最大者，为自然对数的底数，当时，试探究函数的零点个数．
【解答】解：（1）时，，
，
令，解得：，
令，解得：或，
故在递减，在，递增，在递减，
故（1）；
（2）函数在递增，且仅在处有1个零点，且时，，
又，
，
①时，，在递减，且过，，
即在时必有1个零点，此时有2个零点，
②时，令，得两根为，，
则是函数的极小值点，是的极大值点，
，
现在讨论极大值的情况：
，
当，即时，函数在恒小于0，此时有2个零点，
当，即时，函数在上有1解，此时有3个零点，
当，即时，函数在上有2个解，一个小于，一个大于，
，
函数有2个或3个零点．
9．已知函数，．
（1）若直线与曲线相切，求实数的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解答】解：（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，
又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：
①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；
（2）①当时，，所以，无零点；
②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；
③当时，，则的零点即为的零点．
又，
所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；
②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），
在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，
即对恒成立，则，
所以，故存在，
进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；
综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．
10．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
令，得．
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，，
综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；
当时，的单减区间为，无增区间；
当时，的单减区间为和，单增区间为．
（2）的唯一一个零点是，
，，
由（1）可得：
当时，，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，
此时至多有两个零点，不符合题意；
（ⅲ）当时，
若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；
若（2），即，此时，
即，
此时恰好有三个零点，符合题意；
若（2），即，此时，，
记，
所以，
所以（a）在上单调递增，所以，
此时恰好有四个零点，符合题意，
综上，．
11．已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）令，
当时，．
，令，得．
当，，单调递增；
当，，，单调递减；
当，，，单调递增．
（2）当时，，令，得，．
①当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；
②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；
③当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；
若（1），得，，恰好有三个零点；
若（1），得，（2），．
记（a），则（a），（a），
此时有四个零点．
综上所述，满足条件的实数的取值集合为，．
12．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1），
当时，，，则，
当时，，，则，
当时，（1），
所以当时，，在上是增函数；
（2）函数的定义域为，
由（1）得函数在上单调递增，（1），
当时，，又，，
所以当时，恒成立，
即时，无零点，
当时，恒成立，
所以的零点即为函数的零点，
下面讨论函数在的零点个数：
，
所以，
①当时，因为，，，
又在区间单调递减，
所以，
即当时，，
，
所以单调递减，
由，得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
所以，
当时，，
有（1），（1），
当（1）时，函数有1个零点，
当时，函数有2个零点，
当（1）时，函数有3个零点，
②当时，，
由①得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
（1），
所以当时，函数有两个零点，
③当时，，
，
，
即成立，
由（1），
所以当时，函数有1个零点，
综上所述，当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点．
13．已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）用，表示，的最大值，记，，讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1），
当时，，，则，
当时，，，则，
当时，（1），
所以当时，，在上是增函数，
又（1），所以的解集为．
（2）函数的定义域为，
由（1）得函数在上单调递增，（1），
当时，，又，，
所以当时，恒成立，即时，无零点，
当时，恒成立，
所以的零点即为函数的零点，
下面讨论函数在的零点个数：
，
所以，
①当时，因为，，
又函数在区间单调递减，
所以，
即当时，，，
所以单调递减，由得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
所以，
当时，，
有（1），（1），
当（1）时，函数有1个零点，
当（1）时，函数有2个零点，
当（1）时，函数有3个零点，
②当时，，
由①得当，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，（1），
所以当时，函数有两个零点，
③当时，，
，，即成立，由（1），
所以当时，函数有1个零点，
综上所述：当或时，函数（1）有1个零点，
当或时，函数有2个零点，
当时，函数有3个零点．
14．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）用，表示，中的最大值，若函数，只有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为，且．
当时，对恒成立，所以在上单调递增．
当时，令，得，
当，时，．当，时，．
所以在，上单调递减，在，上单调递增．
（2）①当时，，
从而，，
所以在上无零点．
②当时，（1），
若，（1）（1），（1）（1），所以是的零点，
若，（1）（1），（1）（1），所以不是的零点，
③当时，，
所以在上零点个数只需要考虑在上的零点个数．
在上的零点个数在上实根的个数在上实根的个数，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，（1），，
当或时，在上无零点，
当或 时，在上有两个零点，
当时，在上有两个零点，
综上可得时，在上有1个零点，
当时，在上有两个零点，
当时，在上有1个零点，
则在上有唯一零点，所以的取值范围为，．
15．已知函数．
（1）求证：；
（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．
【解答】证明：（1）：设，定义域为，
则，
当时，；当时，，
故在内是递减函数，在内递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），
所以．
解：（2）函数的定义域为，，
当时，；当时，，
所以在内是递减函数，在内是递增函数，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），
若，则，
当时，；当时，；当时，，
所以，于是只有一个零点．
当时，则，
当时，，此时；
当时，，，此时．
所以没有零点．
当时，根据（1）知：，而，所以，
又因为（1），所以在上有一个零点，
从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，
当时，，
所以，从而，
于是有两个零点和1．当时，有两个零点．
综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．
16．已知函数，．
（1）当，且时，证明：；
（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．
【解答】（1）证明：当时，，
要证，需证，即，
即证：当时，；当时，．
令，则，
在上单调递增，在上单调递增，
当时，（1），此时；
当时，（1），此时．
故，且时，．
（2）解：当时，，，在上无零点；
当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；
当时，，在上无零点，
在上的零点个数等价于在上的零点个数．
，
①若时，，在上单调递增，（1），此时无零点；
②若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，
，
令（a），则（a），（a）在上单调递增，
（a）（1），即，即，
两边取指数，有，即，
，
又，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，且．
综上所述：
当时，仅有一个零点；
当时，有两个零点
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