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第29讲 割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
1．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，，求证：．
【解答】解：（1）由，得，
函数的零点，，，．
曲线在处的切线方程为，，（1），
曲线在处的切线方程为；
（2）证明：，
当时，；当时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，．
易知，在，上单调递增，
而，
对恒成立，
当时，．
由得．记．
不妨设，则，
．
要证，只要证，即证．
又，
只要证，即．
，即证．
令，．
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
，
，
．
2．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，求证：．
【解答】解：（1）由，得，或，所以的零点为1，；
因为，所以（1），（e）．
因为（1）（e），所以曲线线在处的切线方程为，在处的切线方程为分
（2）证明：因为，所以，所以单调递减．令，，
下面证，即，
记，则，，
所以单调递增，且（1），故在单调递减，在单调递增．
所以（1），即，
同法可证，即．
不妨设，
因为，且为增函数，所以，
由，得，
同理，，，
所以，
所以，，
所以，分
3．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．
【解答】解：（1），，，
所以曲线在，处的切线方程为．
（2）证明：令，得，
因为有两个不等的实数根，，
所以，
不妨设，
令，
令，
所以对任意，，
所以，即，
所以，
所以，
所以．
4．已知函数在点，处的切线方程为．
（1）求，；
（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【解答】解：（1）将代入切线方程中，有，
所以，即，
又，
所以．
若，则，与矛盾，
故．
（2）证明：由（1）可知，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，
则，
所以，．
当时，
若，，，
若，，在时单调递增，．
故，在上单调递减，
当时，
由知在时单调递增，，在上单调递增．
所以，即成立．
（3）证明：，设的根为，
则，
又单调递减，且，
所以，
设曲线在点处的切线方程为，有，
令，
，
当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
即，
设的根为，
则，
又函数单调递增，
故，
故．
又，
所以．
5．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
【解答】解：（1），，，
故曲线在原点处的切线方程为．
（2）①当时，；
②当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递增，且（1）
在递减，在递增．
在的最小值为（1）；
③当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递减，且时，．
，
综上所述：．
（3）依（2）得时，，
曲线在原点处的切线方程为
设，
，，
令，解得，或．
在，递增，在递减．
，时，，递增，而，
当时，，
设，分别与，交点的横坐标为，，
，．
则，，（证毕）
6．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
，
（1），
曲线在点处的切线方程为即，
，；
（2）证明：令，
则，
令，则，
单调递增，又（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
，
（3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设，
由题知，曲线在处的切线方程为，
令，即即的根为，则，
由（2）知，
，
单调递增，
，
设曲线在处的切线方程为，
，
，
设方程即的根为，则，
令，
由（2）同理可得，即，
，
又单调递减，
，
．
7．已知函数，设曲线在点，（e）处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，，证明：．
【解答】解：（1），（e），
又（e），；
（2）证明：令（e），
（e）在上单调递增，且（e），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
（e）恒成立，
恒成立．
（3）证明：当时，，则，
显然在定义域内单调递增，而（1），（e），
存在，使，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
令，解得或，
由（1）（2）可知在处的切线方程为，
且恒成立，同理可得在处的切线方程为，
令，
当时，，，当时，，，
恒成立．
设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，
不妨设，则，，
令，解得，，
，得证．
8．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，且，证明：．
【解答】解：（1），则，
由点斜式可得切线方程为；
（2）证明：由（1）知在点，处的切线方程为，
设，构造函数，则，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，当且仅当时取等号，
方程的根，
又，
由在上单调递减，所以，
另一方面，在点处的切线方程为，
设，构造函数，则，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上单调递减，在上单调递增，
（1），即，当且仅当时取等号，
方程的根为，又，在上单调递增，
，
，即得证．
9．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）已知在上恒成立，求的值．
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
【解答】解：（1）函数，则，
所以，，
所以在点，处的切线方程为；
（2）令，
则，
令，则，
所以在单调递减且，在单调递增，
又，即且，
故只能在处取得最小值，
若，此时，在上，故单调递减，
在上，故单调递增，
故，满足题意；
若，有解，，
在上单调递减，与矛盾；
若，有解，，
在，上单调递减，与矛盾；
综上所述，；
（3）证明：，
所以在单调递减且，
在单调递增，故最多一根，
又因为，，
设的解为，因为，故，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为方程有两个实数根，，故，
结合（1）（2）有，在上恒成立，
设的解为，则，设的解为，则，
故，，所以，得证．
10．已知函数，，在，处的切线方程为．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）在，处的切线方程为，可得
，即，
又函数，，
可得导数为，所以，
若，则，与矛盾，
故；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，，
设在处的切线方程为，
易得，则，
令，
即，，
当时，，
当时，
设，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
，
设的根为，则，
又函数单调递减，故，故，
设在处的切线方程为，易得，
令，，
当时，，
当时，
设，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故，
又，
则．
11．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
【解答】解：（1），则，又，
切线方程为，即；
（2）证明：先证明，
令，则，
易知函数在上递减，在，上递增，
则，即，
再证明，令，则，
易知函数在上递减，在上递增，
则（1），即，
如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，
由，得，当且仅当时等号成立，
由，得，当且仅当时等号成立，
，即得证．
12．已知函数．
（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个零点，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，定义域为，则，，
在上为减函数，
，，
由零点存在性定理可知，在上必存在，使得，
且当时，，即在上单调递增，
当，时，，即在，上单调递减，
，
故至多有两个零点，
又，，
故，是的两个零点，
由，，易得两切线方程为或；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，，
设，，，
在上为增函数，
，
当时，，即在上为减函数，
当时，，即在上为增函数，
，即，
设与的交点横坐标为，则，
为增函数，
；
同理设，则，，
在上为增函数，
又，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
，即，
设与的交点横坐标为，则，
又为减函数，则，
故，
，得证．
13．已知函数，．其中．．
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．
【解答】解：（1）由，可得，其中，且．
下面分两种情况讨论：
①当为奇数时，令，解得，或，
当变化时，，的变化情况如下表：
递减 递增 递减
所以，在，上单调递减，在单调递增；
②当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
所以，在单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，
即，
令，即，
则．
由于在上单调递减，故在上单调递减，
又因为，所以当时，，当，时，，
所以在内单调递增，在，上单调递减，
所以对应任意的正实数，都有，
即对于任意的正实数，都有．
（3）证明：不妨设，
由（2）知，设方程的根为，
可得，由（Ⅱ）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
当，，
即对于任意的，，
设方程的根为，可得，
因为在上单调递增，
且，因此，
由此可得：，
因为，所以，
故：．则，
所以当时，即有．
14．已知函数，，其中，且．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．
【解答】（本题满分为14分）
解：（Ⅰ）由，可得，其中，且．
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时，令，解得，或，当变化时，，的变化情况如下表：
所以，在，上单调递减，在单调递增．
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
所以，在单调递增，在上单调递减；
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令，即，则．
由于在上单调递减，故在上单调递减，
又因为，所以当时，，当，时，，
所以在内单调递增，在，上单调递减，
所以对应任意的正实数，都有，
即对于任意的正实数，都有．
（Ⅲ）证明：不妨设，
由（Ⅱ）知，
设方程的根为，可得，
由（Ⅱ）知，可得．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，
可得，当，，
即对于任意的，，
设方程的根为，可得，
因为在上单调递增，且，
因此，
由此可得：，
因为，所以，
故：．
所以：．
15．已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：由，可得．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即，
令函数，即，
则．
，当时，；当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
对于任意实数，，即对任意实数，都有；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程的根为，可得．
在上单调递减，又由（Ⅱ）知，
因此．
类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
对于任意的，有，即．
设方程的根为，可得，
在上单调递增，且，
因此，
由此可得
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第29讲 割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
1．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，，求证：．
2．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，求证：．
3．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．
4．已知函数在点，处的切线方程为．
（1）求，；
（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
5．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
6．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
7．已知函数，设曲线在点，（e）处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：对定义域内任意，都有；
（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，，证明：．
8．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，且，证明：．
9．已知函数．
（1）求在点，处的切线方程；
（2）已知在上恒成立，求的值．
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
10．已知函数，，在，处的切线方程为．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，证明：．
11．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
12．已知函数．
（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个零点，，求证：．
13．已知函数，．其中．．
（1）讨论的单调性；
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．
14．已知函数，，其中，且．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．
15．已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；
（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：
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