中小学教育资源及组卷应用平台
第28讲 零点差问题
1．设．
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值（注：区间，的长度为
【解答】解：（1）．
，
由题意，知，解得，
所以．
（2），因为的单调递减区间的长度是正整数，
所以存在两个不相等的实数根，，不妨设，△，，
又因为，所以，或，．
2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【解答】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）①当时，由，得
，
整理得，
令△，
则△，
记，
则，恒成立，
所以在，上是减函数，则（1），即，
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
，
设，
则，
令，得，
当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
，（1），
则当时，，
则，因此，
因为，，，所以，
③当时，因为，为偶函数，因此也成立，
综上所述，．
3．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
故
当或时，；
当或时，．
从而在，单调增加，在，单调减少；
（Ⅱ）．
由条件得：（2），即，故，
从而．
因为，
所以．
将右边展开，与左边比较系数得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
4．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，
，，
令，可得，令，可得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：函数的定义域为，，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以，是函数的两个零点，
，
，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，，
由，可得，
因为，所以，
所以要证，即证，只需证（2），
因为，
所以（2），
所以，得证．
5．已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，横坐标分别为，，且．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，函数的图象在点，处的切线互相垂直，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ），
时，，时，，时，，
的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
时，有极小值，无极大值；
（Ⅱ）当时，．
由已知，，
故
，
，，
，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为．
6．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数存在单调递减区间，，并求出单调递减区间的长度的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）点在函数上，由；
得：；
故切线方程为：；
（Ⅱ）由；
得：，
令，
△，，
在上一定存在两个不同的实数根，
函数在上必有两个不等实数根，，
即的解集为，
由根与系数的关系知：，，
，
由可得：，，
函数存在单调减区间，，函数的递减区间长度的取值范围是，．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，，
所以在上单调递增．
当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，
，
又，
，
又，
，即；
要证，由（1）可知，只需证，即证，
又，
只需证，即证，
令，则，，，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
在上单调递减，即（1），即得证．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
当时，，则在上单调递增；
当时，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：原不等式等价于，
因为①，②，
由②①，可得，故，
则等价于，
因为，所以，
即证明③，
等价于证明，
令，设，即证明，
因为，
则在上单调递增，且（1），
因此；
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有两个不相等的实数根，且（e），
则且，
因为对于，，恒成立，
则对于恒成立，
所以，
因为，所以，
又因为，△，
所以或，
因为且，所以，
因为，所以，
所以．
9．设函数，其中且．
（1）证明恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
【解答】证明：（1）由已知条件得，
令，由，可知在内单调递减，
又（1），且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为．
则，当时，，所以在内单调递增；
当，时，，所以在，内单调递减．
所以是的唯一极值点．
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，（1），所以，
从而．
又因为（1），所以在，内有唯一零点，
又因为在内有唯一零点1，从而在内有两个零点．
（2）由题意，，即，从而，
即，因为时，，又，故．
两边取对数，得，
于是，，整理得．
10．已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【解答】解：（1），令，则，
则，为方程的两个不同实根，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上递增，在上递减，
故的极大值为，
如图示：
结合图象知，且，
故；
（2）要证，只须证，即，
即证，由（1）知，故，
令，
只需证在上成立，
因为，
所以在上递增，，得证．
（3）令，
则，，，
所以在递增，则，
所以在递增，故，
所以在递增，所以，
所以不等式在上成立，
所以
且在上递增，上递减，
令，为方程的两个实根，
即的两个实根，其中，
如图示：
由于，即，
所以
，
原命题得证．
11．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若曲线在点，处的切线方程为，求的最小值．
（2）当常数时，若函数在，上有两个零点，，证明：．
【解答】解：（1），曲线在点处的切线方程为，即，
，
，
设，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，即的最小值为；
（2）证明：由得，，
又，，
当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，
又（1），，
，
又，（1），
存在，使得，
由知，当时，，
存在，，使得，
，
，即；
当时，，，
令，，则，
设，，则，
在上单调递增，
（2），
在上恒成立，
在上单调递增，
（2），
当时，，
又，在，上单调递增，
；
综上，．
12．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当常数时，函数在，上有两个零点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，．
由，解得或．
当或时，，
的单调递增区间为，．
当时，，的单调递减区间为．
（2）证明：由，解得或．
当时，，在上单调递增；
当时，，在，上单调递减．
的最小值为．
函数在，上有两个零点，，．
由，（1），可知．
，当时，，在上单调递增．
．．
，．
13．已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：函数有两个零点，，且．
【解答】解：（Ⅰ）（1分）
①当时
当时，，故单调递增
当时，，故单调递减
在，上单调递减，在，上单调递增（3分）
当时，，故在上单调递增（4分）
当时
当时，，故单调递增，
当时，，故单调递减，
在上单调递减，在，上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，故在上单调递增
当时，在上单调递减，在，上单调递增（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增
至多有两个零点
（1），又，
由零点定理知，在上有一个零点（7分）
又在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取最小值，
，（8分）
设（a），
则（a），故（a）在上单调递增，
当时，（a）（e），
，
由零点定理知，在上有一个零点，
有且仅有两个零点，，且（11分）
，即
．（12分）
14．已知函数，．
（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方．
（2）当时，令的两个零点，．求证：．
【解答】证明：（1）构造函数 ．
则 ，
令，得．所以时，时，
所以在为减函数，在为增函数，所以（1），
即．
故函数的图象恒在函数图象的上方．
（2）由 有两个零点，
当时．
则在为增函数，且（1），
则当时，为减函数，当时，为增函数，
所以（1）．
又，
（e）．
所以在和上各有一个零点，，故．
15．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点，求证：．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
①当时，，的单调递减区间为；
②当时，由得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：有两个零点，由（1）知且，，
要证原不等式成立，只需证明，只需证明，
只需证明．
一方面，，
，，
且在单调递增，故；
另一方面，令，，
则，当时，；当时，；
故，故即时恒成立，
令，
则，于是，
而，
故，且在单调递减，故；
综合上述，，即原不等式成立．
16．已知函数，为的导函数，且．证明：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），，，．
，令，则．
当时，；当时，．
（1）．
在中，，．
（2）由（1）可得：在，上单调递减．
．
．
由（1）得，当且仅当时取等号．
．即，当且仅当时取等号．
又时，．因此．
时，，又．
，
由在上单调递减，且，，．
即．
17．已知函数为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若实数，满足，其中，分别记：关于的方程在上两个不同的解为，；关于的方程在上两个不同的解为，，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：，．
当，，时，，当时，．
的增区间为，，减区间为．
在处取极大值为，在处取极小值．
又时，，时，．
当时，关于的方程有三个不同的解；
（Ⅱ）证明：记，
下面证明：．
令，
则．
当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增．
又，，即．
不妨设，，
则有．
又，，在上单调递增．
，同理．
又，，在上单调递减，
．
，则，命题成立．
18．设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）注意到时，，当时，，
由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，只需证，只需证，
而，则，
要证，只需证，只需证，
而，
，即得证
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第28讲 零点差问题
1．设．
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值（注：区间，
2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
3．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
4．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
5．已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，横坐标分别为，，且．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，函数的图象在点，处的切线互相垂直，求的最大值．
6．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数存在单调递减区间，，并求出单调递减区间的长度的取值范围．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
9．设函数，其中且．
（1）证明恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
10．已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
11．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若曲线在点，处的切线方程为，求的最小值．
（2）当常数时，若函数在，上有两个零点，，证明：．
12．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当常数时，函数在，上有两个零点，，证明：．
13．已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：函数有两个零点，，且．
14．已知函数，．
（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方．
（2）当时，令的两个零点，．求证：．
15．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点，求证：．
16．已知函数，为的导函数，且．证明：
（1）；
（2）．
17．已知函数为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若实数，满足，其中，分别记：关于的方程在上两个不同的解为，；关于的方程在上两个不同的解为，，求证：．
18．设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
