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第31讲 必要性探路法
1．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
2．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
3.是否存在正整数，使得对一切恒成立 试求出的最大值.
4.求k的最大整数值.
5.求使得在上恒成立的最小整数
6．（2019 苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
7.（2021 湛江三模）已知函数，为的导函数．
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若，时，恒成立，求整数的最小值．
8．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
9．函数．
（1），求的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令函数，求证：．
10．（Ⅰ）证明：，，；
（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．
11．已知，，．
（1）若，，证明：；
（2）对任意，都有，求整数的最大值。
．
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第31讲 必要性探路法
1．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】
（1）由，可得，函数与有公共点，即有解，设，求导数，求出函数的值域即可.
（2）不等式恒成立，即恒成立，当时，成立，解得，故再验证时，不等式成立即可得出答案.
【详解】
解：（1）令，即，则，
函数与有公共点，即有解.
令，则.
令，
当时，，所以，当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以且当时，
所以.
（2）不等式恒成立，即恒成立.
则时，成立，解得，
由题意求满足条件的整数最小值，下面验证是否满足题意.
当时，令，且在上单调递增.
又，可知存在唯一的正数，使得，
即，
则在上单调递减，在上单调递增.所以，
即当时，不等式成立.
故整数的最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据时，不等式成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证满足条件，从而得出答案.属于中档题.
2．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，
所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述，的最大值为2．
3.是否存在正整数，使得对一切恒成立 试求出的最大值.
解:易知对一切恒成立，当可得，则仅可取1、2
下证时不等式恒成立，设
在单调递减，单调递增，
当时，不等式恒成立，所以最大为2.
4.求k的最大整数值.
解:令，显然
因此的最大整数值可能是4，下证时恒成立
由即
所以
5.求使得在上恒成立的最小整数
解:令，则必有成立，此时解得即符合条件
下证时，恒成立
由
6．（2019 苏州三模）已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为3．
7.（2021 湛江三模）已知函数，为的导函数．
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若，时，恒成立，求整数的最小值．
【解答】解：（1）由，得，
令，则，
，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，
当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
又，故在，上单调递减，
又，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，
故单调递减，故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1．
8．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：时，，，
设，则，令，解得：，
故在区间递减，在递增，
故的最小值是，即对任意恒成立，
故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；
（2）先证对任意，，，，
令，，令，解得：，
故在区间递增，在递减，
故，故，
令，，，
令，解得，
故在区间递减，在区间递增，
故，故，递增，
故，故，，，
对于任意，恒成立，
，故，
当时，
，
即对于任意的，恒成立，
综上，的取值范围是．
9．函数．
（1），求的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令函数，求证：．
【解答】解：（1），，，
当，时，，
当，时，，
所以的单调递增区间是，，
的单调递减区间是，．
（2）不等式恒成立等价于，
令，则由，可得到，
可以看作是关于的一次函数，单调递增，
令，
对于，，，恒成立，
只需证明即可，
，
当，，
则，在上单调递减，又，
所以此时恒成立．
当时，恒成立；
当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
当时，，当，时，，
所以在时单调递减，在，时单调递增，
，，，
恒成立，故恒成立，
．
（3）证明：由（2）可知，
，令，，，2，，8，
可得到，
从而，
即得证．
10．（Ⅰ）证明：，，；
（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．
【解答】解：（1）令 ，当，时， ，
故在区间，上单调递增，从而，
由于为偶函数，所以当，时， ，
故，，．
（2）结合（1）可知 ，
所以，易证，故为原不等式成立的必要条件，
下面证明充分性，当时， ，
令 ，易知为偶函数．设，，则 ，
令 ，则 ，
故在，上单调递减，即，
故在，上单调递减，，
故当时，原不等式在，上恒成立，
综上，的取值范围为，．
（3）当时， ，在（2）中令， ，则有 ，下面证明即可，即证，
解法一：，即 ，
，，
易知 在处取得最小值1，则，
又，所以．
综上，当时，恒有 ．
解法二：不妨令，
在上，，则在上单调递增，
又（1），所以要使，则需，要证，即证，即证，
又，
所以即证，
设，，，则，
故在，上单调递增，（1）（1），
令，可得，所以，即，所以．
综上，当时，恒有 ．
11．已知，，．
（1）若，，证明：；
（2）对任意，都有，求整数的最大值．
【解答】解：（1）设，
则．
注意到，因为，，
因为，
则在，单调递减，所以（1），，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在，上单调递减，
又（1），，
所以在上恒成立，所以在，上单调递增，
则，即，
所以．
（2）因为对任意的，，不等式，
即恒成立，
令，则，
由（1）知，所以，
由于为整数，则，
因此，
下面证明，在区间，恒成立，
由（1）知，则，
故，
设，，，
则，
所以在，上单调递减，
所以（1），所以，在上恒成立，
综上所述，整数的最大值为2
．
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