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第35讲 函数与数列不等式问题
1．已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
2．证明：．
3．已知，为自然对数的底数）．
（1）求证：恒成立；
（2）设是正整数，对任意正整数，，求的最小值．
4．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，．
（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
5．设函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）若对任意的正整数都有，求的最小值．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：
；
证明：．
7．已知二次函数满足，，，．
（1）求的解析式；
（2）求证：时，；
（3）求证：．
8．定义：若在，上为增函数，则称为“次比增函数”，其中，已知．（其中
（Ⅰ）若是“1次比增函数”，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值；
（Ⅲ）求证：．
9．已知数列满足：，，证明：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
10．已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
11．已知函数，，若在处的切线为．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设，其中，，证明：．
12．已知函数．
若时，，求的最小值；
设数列的通项．
13．已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且．
（1）讨论的单调性；
（2）求实数和的值；
（3）证明．
14．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
15．已知函数，为实常数）
（1）当时，求函数在，上的最小值；
（2）若方程（其中在区间，上有解，求实数的取值范围；
（3）证明：（参考数据：
16．已知，．
（1）若对，内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对，是自然对数的底数）内的任意个实数，，，都有成立；
（3）求证：，．
17．函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，，证明：．
18．已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值，并讨论的单调性；
（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立．
19．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
20．函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
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第35讲 函数与数列不等式问题
1．已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
【解答】解：（1）由题意
则
即在，上单调递增，
，
，；
（2）即证，，，
设，
在，上单调递减，
，
，，；
（3）利用，，，
令，得：
，
，
，
，
累加得：，
当时，；
2．证明：．
【解答】证明：
．
．
令，
当，，
，在，上递增，，
．
综上：．
3．已知，为自然对数的底数）．
（1）求证：恒成立；
（2）设是正整数，对任意正整数，，求的最小值．
【解答】解：（1）令，，，
则，当，；时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以，即恒成立；
所以；
（2）由（1）令，可知，由不等式性质得
．
所以的最小值为2．
4．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，．
（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
由对任意的恒成立，即，
由，
当时，，的单调递增区间为，
所以时，，
所以不满足题意．
当时，由，得，
时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为．
设（a），所以（a），①
因为（a），
令（a），得，
所以（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以（a）（1），②
由①②得（a），则．
（2）由（1）知，即，
令，，1，2，3，，，则，
所以，
所以
，
所以，
又，
所以的最小值为2．
5．设函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）若对任意的正整数都有，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，
，
△，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，恒成立，在上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，在，上单调递减，
（1），
时取“” ，
令，
则，
．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：
；
证明：．
【解答】解：（1），
令，
①时，，在上单调递增；
②时，时，，单调递增；时，，单调递减．
③，时，，单调递减；时，，单调递增．
综上，时，在上单调递增；
时，在上调递增，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）时，，所以，
令，则，
时，，单调递增；时，，单调递减．
（1），
即，即．
时，，．
由知，即．
令
得，即，所以，
．
．
7．已知二次函数满足，，，．
（1）求的解析式；
（2）求证：时，；
（3）求证：．
【解答】解：（1）由，可设，
因为，，所以，，
，即．
（2）设，，
令，即，则，当，，当，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，．
，在上单调递增，时，，
．
（3）由（2）知即．
易知时，，，
，，
．
8．定义：若在，上为增函数，则称为“次比增函数”，其中，已知．（其中
（Ⅰ）若是“1次比增函数”，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值；
（Ⅲ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ）由题知在，上为增函数，
故在，上恒成立，故在，上恒成立，
即在，上恒成立，而，．（4分）
（Ⅱ）当时，，，（5分）
当时，，即在，上单调递增；
当且时，，即在，上单调递减；
又，
故当时，在，上单调递增，此时；
当时，，在，上单调递减，此时；
当时，在，上单调递减，在，单调递增，故此时；（8分）
综上有：当时，；
当时，；
当时，．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，即，（10分）
故当时，总有成立，
取时有，，（12分）
故．（14分）
9．已知数列满足：，，证明：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：，
当时，，成立，
假设当时成立，则，
那么时，若，则，矛盾，
故，
因此，
，
因此，
（Ⅱ）由得，
记函数，
，
在，上单调递增，
，
因此，
故；
（Ⅲ），
，
由得，
，
，
综上所述．
10．已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
【解答】解：（1），
，
令，解得，，或，
当或，时，，当，时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
证明：（2），
由（1）可知，，
，，
为周期函数且周期为，
；
（3）由，
，
，
．
．
11．已知函数，，若在处的切线为．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设，其中，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，由，得（1），
根据题意可得，解得；
（Ⅱ）由不等式对任意恒成立知，恒成立，
令，显然为偶函数，故当时，恒成立，
，令，则，
令，则，显然为上的增函数，
故，即在上为增函数，，
①当，即时，，则在上单调递增，
故，则在上为增函数，故，符合题意；
②当，即时，由于，故存在，，使得，
故在单调递减，在，单调递增，
当时，，故在在单调递减，故，不合题意．
综上，；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，当且仅当时等号同时成立，
故，
，，
，
以上个式子相加得，．
12．已知函数．
若时，，求的最小值；
设数列的通项．
【解答】解：由已知，，
，，
所以的讨论分界点为，
情形一：． 此时，于是 单调递增，
当 时有，不符合题意；
情形二：． 此时在 上，
于是在此区间上 单调递减，进而，不符合题意；
情形三：． 此时当 时，
有，
于是 单调递减，因此，符合题意．
综上，的最小值为．
令，由知，当时，，即
取，则
于是
所以
13．已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且．
（1）讨论的单调性；
（2）求实数和的值；
（3）证明．
【解答】解：（1）函数的定义域，，
令，则，
由可得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，函数取得极小值也是最小值（1），
所以即，
所以在上单调递增；
（2）的定义域，，
由题意可得，即①，
由可得②，
联立①②消去可得，，
令，则，
由（1）知，故，
故在上单调递增，又（1），
故方程③有唯一的解，代入①可得，
所以，，
（3）证明：由（1）在上单调递增，
故当时，（1），，
所以在上单调递增，
因此当时，（1），即，
故，
，
取，，可得，
化简可得，，
故，
所以．
14．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
【解答】解：（1），，
方程可化为
．
即．
令．
则．
由得，
，或（舍去）．
当时，．单调递增．
当时，．单调递减．
，（1），．
，时，．
方程在区间，上有解等价于
．
（2）时，不等式可化为
，
即．
令．
则．
当，时，单调递增．
（4）．
当，时，恒成立．
可化为
，
即．
令．
．
当，时，单调递减．
（4）．
当，时，恒成立．
当时，证明不等式在，上恒成立．
（3），
，
由（2）可知，，
，
即，
，
，
，
．
15．已知函数，为实常数）
（1）当时，求函数在，上的最小值；
（2）若方程（其中在区间，上有解，求实数的取值范围；
（3）证明：（参考数据：
【解答】解：（1）当时，，
则，
在区间，上，，在区间，，，
在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
在，上，当时，的最小值为（4）．（4分）
（2）方程在区间，上有解
即在区间，上有解
即在区间，上有解
令，，，
，
在区间，上，，在区间，上，，
在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，
又（1）．
（1）
即
故，（9分）
（3）设，
由（1）知，的最小值为（4），
又，
．
构造函数，则，
当时，．
在，上单调递减，
即（4）．
当时，．
，
即．
．
故．（14分）
16．已知，．
（1）若对，内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对，是自然对数的底数）内的任意个实数，，，都有成立；
（3）求证：，．
【解答】（1）解：由，得，
，要使不等式恒成立，只需恒成立．
设，则，
，当时，（1），则是增函数，
（1），则是增函数，（1），
．
因此，实数的取值范围是；
（2）解：当时，，，
在，上是增函数，在，上的最大值为（3）．
要对，内的任意个实数，，，都有成立，
必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时，不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，
，解得．
因此，正整数的最大值为13．
（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．
令，得，
化简得，
，
即，．
17．函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，，令，则，
对称轴，因此按与2的大小关系进行讨论．
①当时，若，则，此时函数在上是增函数，
若，，则，此时函数在，上是减函数，
若，则，此时函数在上是增函数．
②当时，，此时函数在上是增函数，
③当时，若，则，此时函数在上是增函数，
若，则，此时函数在上是减函数，
若，，则，此时函数在，上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，此时函数在上是增函数，
当时，，
即，，
又由（Ⅰ）知，当时，在上是减函数，
当时，，，
下面用数学归纳法进行证明成立，
①当时，由已知
，故结论成立．
②假设当时结论成立，即，
则当时，，
，
即当时，成立，
综上由①②可知，对任何结论都成立．
18．已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值，并讨论的单调性；
（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立．
【解答】解：（1）函数，
，
当时，取得极值，
，解得，经检验符合题意，
，
当时，，于是在上单调递增；
当时，，于是在上单调递减．
（2）法一：由（1）得：是在上的最大值，
，故，（当且仅当时，“”成立），
对任意正整数，取得：，
，
故；
（方法二）数学归纳法证明：
当时，左边，右边，显然，不等式成立．
假设，时，成立，
则时，有；
作差比较：，
构建函数，
则，在，
单调递减，，
取，，
即，
亦即，
故时，有，
不等式成立，
综上可知，对任意的正整数，不等式都成立；
方 法三
．
19．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
【解答】解：（Ⅰ）由知，，，而，且（1），（2），则为的一个零点，且在内有零点，
至少有两个零点．
由，记，则，
当时，单调递增，故可判断出在仅有一个零点，
综上所述，有且只有两个零点．
（Ⅱ）记的正零点为，即，
（1）当时，由，即，而，．
由此猜测．下面用数学归纳法证明：
①当时，，成立．
②假设当时成立，则当时，由，知．
因此当时，成立．
故对任意的，成立．
（2）当时，由（Ⅰ）知，当，时，单调递增，（a），从而，由此猜测．下面用数学归纳法证明：
①当时，，成立．
②假设当时成立，则当时，由，知．
因此当时，成立．故对任意的，成立．
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有．
20．函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
【解答】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线斜率为，
切点为，切线方程为，
代入可得，
解得；
（2），
，当时，，
可得在递增；
（3）要证，
只需证，
即为，
只要证，
由在递减，，
若，，此时，
只要证，即为，
即，
此时，由（2）知；
若，，此时，
只要证，即为，
即，
此时，由（2）知；
若，不等式显然成立．
综上可得，成立，
则，
由，可得，
则成立
．
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