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第38讲 指对函数问题之对数单身狗
1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意，求证：．
2．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在点，处的切线的斜率为1，证明：当时
3．设．
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
4．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
5．已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）讨论关于的方程的实根的个数．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
7．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
8．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
9．已知函数，；
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
10．已知，直线为曲线在，处的切线，直线与曲线相交于点，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）（1）证明：；
（2）证明：．
11．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
12．已知函数，．
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值．
13．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围．
14．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：不等式成立．
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第38讲 指对函数问题之对数单身狗
1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对任意，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域是，，
当时，恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在，上单调递减，在，上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增；
（Ⅱ）证明：要证，即证，
即证，又，故，即证，
令，则，
令，则，
而在递增，且（1），（2），
故存在唯一的实数，使得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
，（2），
故大昂时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故（2），
综上：，即．
2．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在点，处的切线的斜率为1，证明：当时
【解答】解：（1）．
令可得或．
①若，即，则恒成立，
在上单调递增；
②若，即，
则当或时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
③若，即，
则当或时，，当时，，
，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
，
，故．，
设，
，
令，则，
显然，当时，，故在上单调递增，
又（1），当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值（1），
，即．
3．设．
（1）求的最小值；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，解得，
，
令，得，即，
当时，；当，时，．
时，．
（2）令，
对函数求导数：
令，解得，
当时，对所有，，所以在，上是增函数，
又，所以对，都有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在是减函数，
又，所以对，都有，
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上，的取值范围是，．
4．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），所以．
故在区间上单调递增，无单调递减区间．
（Ⅱ），
设，，则，
所以在区间，上单调递增，即在区间上单调递增，且（1），
①当时，，在区间上单调递增，所以（1）满足条件；
②当时，（1），，
所以，，使得，所以当时，，单调递减，
即当时，（1），不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）讨论关于的方程的实根的个数．
【解答】解：（1）时，，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在，递减，
故；
（2）由，得，显然是该方程的根，
时，方程等价于，
令，，
则，
令，
则，
时，单调递减，
时，（1），，单调递减，
时，（1），，单调递增，
时，，时，，时，，
画出函数的图像，如图示：
结合图像得：时，方程有2个实根，
时，方程没有实根，
综上：时，方程仅有1个实根，
时，方程有3个实根．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
【解答】解析：（1）函数．定义域为：，，；
，且，
在和上单调递增，
①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
，，，
在有且仅有一个零点，
②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，
又（e），，（e），
在上有且仅有一个零点，
故在定义域内有且仅有两个零点；
（2）是的一个零点，则有，
曲线，则有；
由直线的点斜式可得曲线的切线方程，
曲线在点，处的切线方程为：，
即：，将代入，
即有：，
而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，
将代入化简，即：，
故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
故得证．
7．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）．．
时，，此时函数在上单调递增．
时，，
可得：函数在内单调递增；在内单调递减．
（2）不等式化为：，．
，可得时，函数取得极小值即最小值，．
．
的取值范围是．
8．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，，，
由，得，函数在上单调递增；
由，得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，
，
又在上恒成立，
，即，
令，则，设，则，
，
函数在上单调递增，且，
存在唯一的，使得，且当时，；当，时，，
，解得．
，
的最小值为2．
9．已知函数，；
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），，
，
①当时，令，得；令，得；
②当时，令，得或；
（Ⅰ）当，即时，令，得或；令，得；
（Ⅱ）当时，即时，则恒成立；
（Ⅲ）当时，即时，令，得或； 令，得；
综上所述：当时，在上递减，在上递增；
当时，在和，上递减，在上递增；
当时，在上递减；
当时，在和上递减，在，上递增．
（2）由（1）得①当时，在上递减，
（1），；
②当时，
（Ⅰ）当，即时，在上递减，在，上递增，
，符合题意；
（Ⅱ）当，即时，在上递减，
（1），符合题意；
综上，实数的取值范围为，．
10．已知，直线为曲线在，处的切线，直线与曲线相交于点，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）（1）证明：；
（2）证明：．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，则，
可得曲线在，处的切线方程为，
即．
令，显然，，
由，得，
在上单调递减，在，上单调递增．
若，时，，，
则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；
若，，时，，
则在上单调递增，在，上单调递减，而时，，
在上存在零点．
故的取值范围是，；
（Ⅱ）证明：（1）令，
则（e），，
，，
当时，，当时，，
则的最大值为（e），可得单调递减，又（e），
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则（e），即；
（2）先证，
令，
，
，，
当时，，当时，，
则的最小值为，可得单调递增，又，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，即，
，是直线上的点，，
，
可得，
，
，
得，
故．
11．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】（1）解：令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，
只需证明成立即可，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，（1），
因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），
所以，
因此，当时，．
12．已知函数，．
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值．
【解答】解：（1）由，
得，则（1），
又（1），在处的切线方程为．
联立，得．
由题意，，且△，解得；
（2），恒成立，
即对任意恒成立，令．
当时，得；
若，，．
的正根为，则在，上单调递增，
而（1），可得（1）在，上成立，与矛盾；
当时，在上成立．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
（1），即，
可得时，在上成立．
的最小整数值为3．
13．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），得由，得；，得；
的递增区间是，递减区间是．
（2）对一切，恒成立，
可化为对一切恒成立．
令，，
当时，，即在递减，
当时，，即在递增，（1），
，即实数的取值范围是，．
14．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：不等式成立．
【解答】（1）解：当时，，
则，
所以在区间上，，则递减，
在区间上，，则递增，
故在处取得极小值（1），没有极大值；
（2）证明：欲证，
只需证，
，，
，
只需证，
令，
，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
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