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第37讲 指对函数问题之指数找基友
1．若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
2．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
（1）若对函数存在极小值，且极小值为0，求的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
3．已知为自然对数的底数）．
（1）若在处的切线过点，求实数的值；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
4．已知，．
（1）求在处的切线方程；
（2）若，证明：在上单调递增；
（3）设对任意，成立，求实数的取值范围．
5．已知函数．
（1）当时，证明：在上为减函数．
（2）当时，，求实数的取值范围．
6．已知函数．
（1）证明：函数有三个零点；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
7．已知函数，为的导函数．
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．
8．设函数，．
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，不等式恒成立是的导函数），求实数的取值范围．
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，曲线在点，（1）的切线与轴平行，是的导函数．
（Ⅰ）求的值及当时，函数的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意，证明．
10．已知函数，．
当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
11．已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
12．已知函数（其中，为实数）的图象在点，处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
．
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第37讲 指对函数问题之指数找基友
1．若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
【解答】解：当时，为的增函数，无最小值，不符合题意；
当时，即为显然成立；
当时，的导数为，
由于在递增，设的根为，即有，
当时，，递减；当时，，递增，
可得处取得极小值，且为最小值，
由题意可得，即，
化为，设，，
当时，（1），时，，递增，
可得的解为，
则，，
综上可得，，
故选：．
2．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
（1）若对函数存在极小值，且极小值为0，求的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），，
当时，，函数在上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当时，由，可得，由，可得，为函数的极小值点，
由已知，，即，；
（2）不等式，即，
设，则，，
时，，则在时为增函数，．
①，即时，，在时为增函数，，此时恒成立；
②，即时，存在，使得，从而时，，在，上是减函数，
时，，不符合题意．
综上，的取值范围是，．
3．已知为自然对数的底数）．
（1）若在处的切线过点，求实数的值；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），．，
在处的切线方程为，
切线过点，，．
（2）由，可得，
令，，
，且，，
存在，使得，
当时，；当时，．
①当时，，，
此时，对于任意式恒成立；
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值．
与同号，
且对成立，
函数在上为增函数，而，
时，，，
函数在上为减函数，，．
③当，时，，
由，得，
由②可知函数在，上为减函数，
当，时，，，
综上，．
4．已知，．
（1）求在处的切线方程；
（2）若，证明：在上单调递增；
（3）设对任意，成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），，，
所以在处的切线方程为，即．
（2），
则，
由于，故，
又，，故，
故，即在上恒成立，
故在递增．
（3），
由对任意，恒成立，
设，
则，
再设，
则，
，
因此在上递增，
故，
①当时，即，在递增，故，
即适合题意，
②当时，，，
若，则取，时，，
若，则在上存在唯一零点，记为，
当时，，
总之，存在使时，
即，故递减，，
故时，存在使，不合题意，
综上，．
所以的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）当时，证明：在上为减函数．
（2）当时，，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则（1），，故在上为减函数．
（2）解：等价于对于恒成立，
设，则，易知在上为增函数，
所以，所以在上为增函数，
因为，，所以存在唯一的，使得，
当，时，，由得，
令，则，
所以在，上为减函数，则，所以，
当时，，对于任意实数，恒成立，
当时，，由得，
由上可知，令，
则，易知在上为增函数，
又，因为，，
所以，
又，所以存在唯一，使得，
当，时，；当时，，
所以在，上递减，在上递增，
因为，，
所以，即，所以在为减函数，
，所以，
综上可知，实数的取值范围为．
6．已知函数．
（1）证明：函数有三个零点；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为为奇函数，且，
只需证在上有且只有一个零点即可．
当，，记，，
，在上递增，
又，在上递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，
当时，，当，时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增．
，，又，
所以函数在，上有且只有一个零点，
所以函数有三个零点．
（2）法一：由，可得，
由（1）知：①当时，，，
此时，对于任意，恒成立．
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值，
，
令，，
对成立，
函数在上为增函数，
而，
又，存在唯一实数，使得，
当，时，；当时，．
函数在，上递减，在递增，
，，
函数在上递减，，．
③当，时，，
由，得，
由②可知，
所以函数在，上为减函数，
当，时，，
，综上，．
法二：原命题等价于在，上恒成立，
令，则，
当，时，，，，
①当时，原命题成立，
②当时，在，上单调递增，，由，可得，
③当时，在，上单调递减，，由，可得，
综上，的取值范围是，．
7．已知函数，为的导函数．
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
令，则，
，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，
当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
又，故在，上单调递减，
又，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，
故单调递减，故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则的取值范围是，．
8．设函数，．
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，不等式恒成立是的导函数），求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题可得．
令，得．
当时，，当时，，
所以，．
因为，所以，
所以的值域为．
（2）由得，
即．
设，则．
设，则．
当，时，，，所以．
所以即在，上单调递增，则．
若，则，所以在，上单调递增．
所以恒成立，符合题意．
若，则，必存在正实数，满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意
综上所述，的取值范围是，．
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，曲线在点，（1）的切线与轴平行，是的导函数．
（Ⅰ）求的值及当时，函数的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意，证明．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，
，即．
，
为减函数，且（1），
当时，，．
当时，，．
的增区间为，减区间为；
（Ⅱ）证明：．
记，
，令，得，
当时，，单调递增；
当，时，，单调递减．
，
．
令，，
在上单调递减，
．
．
10．已知函数，．
当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【解答】解（1）当时，，，
当点为切点时，所求直线的斜率为，则过点且和曲线相切的直线方程为，
当点不是切点时，设切点坐标为，
则所求直线的斜率为，所以，①易知，②
由①②可得
即，
设，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以有唯一的零点，
因为，所以方程的根为，即切点坐标为，
故所求切线的斜率为（1），则过点且和曲线相切的直线方程为，
综上，所求直线的方程为或，
（2）解法一、，
因为，所以函数的零点就是函数的零点，
当时，，没有零点，所以没有零点．
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是函数在上的最小值，
当上没有零点，即在上没有零点；
当上只有一个零点，即在上只有一个零点；
易知对任意的，都有，即，所以，即，令，则，所以，
故在上有一个零点，
因此在上有两个不同的零点，即在上有两个不同的零点；
综上，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
解法二、由，
令，
则函数在上有两个不同的零点，即直线与函数的图象在上有两个不同的交点），
，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
因为，并且当时，，
所以当时，在上的图象与直线有两个不同的交点，
即当时，函数在上有两个不同的零点．
所以，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
11．已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），（1），
（1），
所求切线方程为（4分）
（Ⅱ）令
①当时，，时，；时，
在上是减函数，在上是增函数，
，即（7分）
②当时，在上是增函数，在上是减函数，
在上是增函数，
要使，
则，解得（9分）
③当时，，在上是增函数，
，成立 （10分）
④当时，在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
要使，
则，解得
综上，实数的取值范围为（12分）
12．已知函数（其中，为实数）的图象在点，处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
则，
因为的图象在点，处的切线方程为，
则，解得，；
（2）由（1）可知，，
则函数，
所以，
令，
则，
①当时，由，，则，
所以在上单调递减，
则，故无最小值；
②当时，由，，则，
所以在，上单调递增，
故，
则在，上单调递增，
所以．
综上所述，的最小值为1；
（3）对分情况讨论如下：
①当时，对任意的，不等式恒成立；
②当时，不等式等价于，
即，
令，
则，
当时，由（2）可知，，
所以单调递增，
则，满足题意；
当时，由（2）可知，在上单调递增，
因为，
故，
从而，
又，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，则单调递减，
所以当时，，不符合题意；
③当时，不等式等价于，
同上，令，则，
当时，由（2）可知，，
所以单调递增，
故，满足题意．
综上所述，的取值范围为．
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