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第40讲 指对函数问题之凹凸反转
1．已知函数且（1）．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
【解答】解：（1）依题意，，又，解得，
，
令，解得，令，解得，
的单调递增区间为，单调递增区间为；
（2）证明：要证成立，只需证成立，
令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又由（1）可得在上，
，故不等式得证．
2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数．
【解答】解：（Ⅰ） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数，
所以，即，
则，
解得，
显然时，是实数集上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
方程可转化为，
令，，
因为，令，得，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
当时，，
又
所以在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
所以当，即时，方程无解，
当，即时，方程有一个根，
当，即时，方程有两个根，
综上得：
当时，方程无解，
当时，方程有一个根，
当时，方程有两个根．
3．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】（1）解：令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，
只需证明成立即可，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，（1），
因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），
所以，
因此，当时，．
4．已知函数，，均为不足近似值）
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）证明：当时，不等式恒成立．
【解答】解：（1）对求导得，
时，，，
，
在，递增；
（2）证明：，
，
又在递增，
在内有唯一1个零点，
且，，，
是在上唯一的极小值点，也是最小值值点，
，，
在，递减，
，
．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：的定义域是，
，
时，，，
故，在，递增；
（Ⅱ）证明：当时，，而，
，即在，成立；
当时，在递增，
，
时，恒成立，
，
在，恒成立；
当时，，
，，
故，，使得，
在递增，
是的唯一极小值点，也是最小值点，
从而，，，
，，
在，递减，
，
在，恒成立；
综上，当时，不等式恒成立．
6．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
故在递增；
又（1），（e），
故函数在内存在零点，
的零点个数是1；
（2），
，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
时，，递减，
，时，，递增，
综上，时，在递减，
时，在递减，在，递增；
（3）由题意得：，
问题等价于在恒成立，
设，
若记，则，
时，，
在递增，
（1），即，
若，由于，
故，故，
即当在恒成立时，必有，
当时，设，
①若，即时，
由（2）得，递减，，，递增，
故（1），而，
即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，
设，
，
由于，且，
即，故，
因此，
故在递增，
故（1），
即时，在恒成立，
综上，，时，在恒成立．
7．设函数，证明．
【解答】证明： ，
从而等价于 ．
设函数 ，
则 ，
所以当时，；
当，时，．
故在上单调递减，在，上单调递增，
从而在上的最小值为．
设函数，则．
所以当时，；
当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在上的最大值为（1）；
因为（1），
所以当时，，即．
8．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解答】解：（1）当时，，
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减；
在处取得极大值（2），无极小值；
（2）当时，，
下面证，即证，
设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，
设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
9．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；
（Ⅱ）当时，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）时，，，
注意到与都是增函数，于是在上递增，
又，故时，；故时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值1，无极大值．（6分）
（Ⅱ）方法一：当，时，，，
，，
故只需证明当时，．
当时，在上单增，
又，，
故在上有唯一零点．
当时，；当，时，．
从而时，取得最小值．
由得：，，
故，
综上，当时，．（12分）
方法二：先证不等式与，
设，则，
可得在上单减，在上单增，
，即；
设，则，
可得在上单增，在上单减，
（1），即．
于是，当时，，
注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、、，它们无法同时取等，
所以，当时，，即．（12分）
10．设函数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解答】解：（1）由题意得，
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数；
所以是的极大值点，无极小值点
（2）证明：令，
则，
令，则因为，
所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，
又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），
且当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），
由（c）得即，两边取对数得：，
所以（c），（c），从而证得．
11．设函数，，其中，，是自然对数的底数．
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）当时，证明：．
【解答】解：（1），，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故时，取得最小值；
（2），
在处的切线方程为，
，
在点处的切线方程为，
由题意得，则，
令，则，
由（1）得时，单调递减，且，
当时，单调递增，又（1），时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递减，
由（1）得，
又，
（1），所以函数在和内各有一个零点，
故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）证明：，
令，以下证明当时，的最小值大于0，
求导的，
①当时，，（1），
②当时，，令，
，又（2），
，又（2）
取且使，即，
则，
（2），故存在唯一零点，
即有唯一的极值点，又，
且，即，故，
，故是上的减函数，
（2），所以，
综上所求，当时，
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第40讲 指对函数问题之凹凸反转
1．已知函数且（1）．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数．
3．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
4．已知函数，，均为不足近似值）
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）证明：当时，不等式恒成立．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立．
6．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
7．设函数，证明．
8．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
9．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；
（Ⅱ）当时，证明：．
10．设函数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，证明：在上恒成立．
11．设函数，，其中，，是自然对数的底数．
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）当时，证明：．
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