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第41讲 三角函数之分段分析法
1．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
2．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
3．已知函数．求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在上有且仅有2个零点．
4．已知函数
（1）证明：，
（2）判断的零点个数，并给出证明过程．
5．已知函数．
（1）若，求证：当时，；
（2）若在上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在，上的零点个数．
7．（1）证明函数在区间上单调递增；
（2）证明函数在上有且仅有一个极大值点，且．
8．已知函数，，．
（1）证明：关于的方程在上有且仅有一个实数根；
（2）当时，，求实数的最大值．
9．已知函数，其中，．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在，上零点的个数．
10．已知函数．
（1）当时，求零点的个数；
（2）当，时，求极值点的个数．
11．已知函数，，，．
（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；
（2）若任意，，恒成立，求的取值范围．
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第41讲 三角函数之分段分析法
1．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
0
0 0
单调递减 0 单调递增 大于0 单调递减 大于0 单调递减 小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
2．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）函数，，
，
令，，
，函数在上单调递减，
又当时，，而，
存在唯一，使得，
当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，
函数在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，
是函数的极大值点，且，
，
又当时，；，
在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，
当时，设，则，
在上单调递减，，
①当时，，当时，，无零点，
②时，，又，当时，，无零点，
当时，，函数在区间内无零点，
函数有且仅有2个零点．
3．已知函数．求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在上有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）因为，所以，
设，则，则当时，，所以即在上递减．
又，且是连续函数，故在上有唯一零点．
当时，；当时，，
所以在内递增，在上递减，
故在上存在唯一极大值点．
（2）因为，所以，
设，则，则当时，，所以在内单调递减．
由（1）知，在内递增，在内递减，
又，所以，
又的图象连续不断，所以存在，使得；
当内时，，在内递减，
又因为，且的图象连续不断，
所以存在，使得；
当时，，，所以，从而在上没有零点，
综上，有且仅有两个零点．
4．已知函数
（1）证明：，
（2）判断的零点个数，并给出证明过程．
【解答】解：（1）证明：因为，，，
所以为偶函数，
不妨设，，，
所以，，，
所以，
当，时，，当，时，，
即函数在，为减函数，在，为增函数，
又，，
所以，
即在，为减函数，
故，
即，
故当，时，；
（2）①由（1）得：当，时，函数有且只有1个零点为，
②当，时，，
即在，为增函数，
即（3），
即函数在，无零点，
③当，时，
，
即函数为增函数，
又，（3），
即存在使得，
即当时，，当时，，
即函数在，为减函数，在，为增函数，
又，（3），
即函数在，只有1个零点，
又函数在为偶函数，
综合①②③可得：
函数在，有1个零点，在无零点，在，无零点，
故函数在上有3个零点．
5．已知函数．
（1）若，求证：当时，；
（2）若在上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：当时，，令，，
则，在上单调递减，
故（1），所以；
（2）解：由题知，，．
①当，时，，此时单调递增，无极值点；
②当，时，设，则，此时单调递增；又（1），，存在唯一的，满足，即，当时，，此时
单调递减，当，时，，此时单调递增，故，故，此时单调递增，无极值点；
③当，时，，，此时单调递增，无极值点；
综合①②③知在，上无极值点．
又在上有且仅有1个极值点，只能在，上有唯一极值点．
令．
函数与函数，，的图象只有一个交点，
，即，
所以的取值范围为．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在，上的零点个数．
【解答】解：（1），其定义域为，，
①当时，因为．所以 在 上单调递增；
②当时，令 得．令 得．
所以在上单调递减，上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，当 时，在上单调递减，上单调递增．
（2）当时，，，
①当 时，因为，
所以 在 单调递减．
所以，
斤以 在 上无零点；
②当时，因为 单调递增，且．
所以存在，使，
当 时，，当 时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，且，所以，
又因为，所以，
所以 在 上存在一个零点，
所以 在 上有两个零点．
③当时，，
所以 在上单调递增，
因为，所以 在 上无零点．
综上所述，在 上的零点个数为 2．
7．（1）证明函数在区间上单调递增；
（2）证明函数在上有且仅有一个极大值点，且．
【解答】解：（1）求导，，，
因为，，，故，
函数在定义区间递增；
（2）由，
令，
当，由（1）得，递减，
由，，
根据零点存在性定理，存在唯一零点，，
当时，，递增；
当，时，，递减，
当，时，，所以递减，
故在，为减函数，
所以有唯一的极大值点，
由在，递减，得，
又，当时，，，
故，
综上，命题成立．
8．已知函数，，．
（1）证明：关于的方程在上有且仅有一个实数根；
（2）当时，，求实数的最大值．
【解答】解：（1）证明：令，则，
所以
因此当时，，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
又因为
所以在无零点，在只有一个零点，
因此方程有且仅有一个根
（2）方法一：令，
则，
①若，则当时，，
所以在上单调递增，又，所以恒成立；
②当，则，
因为，所以，从而
因此当时，，
所以函数在单调递增，又，
因此，所以函数在单调递增，又，在恒成立
③当时令，
因为必有一解，记为，
所以当时，，当时，
因此当时，单调递减，当时，单调递增，
又，所以在恒成立，
所以在上单调递减，又，所以与题意矛盾，
综上，所以的最大值为3．
方法二：令，
则，
令，则，
设，，
令，，
则，
对称轴，，
当时，，
在上单调递增，又，
恒成立，
故的最大值为3．
9．已知函数，其中，．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在，上零点的个数．
【解答】解：（1）时，，，，
，，，
故切线方程是：；
（2），
设，，
故递减，，
又时，，
①若，即时，使，
当时，，递增，
当，时，，递减，
在处取极大值，不存在极小值，
②若，即，，
在，递增，此时无极值，
（3）由（2）可知：
若时，由上问可知：
，
即时函数没有零点，
若时，，时，递增，
，时，递减，
由得，从而，
再设，则从而关于递增，
①若，，此时，，
若得或，
时无零点，
得，
时有1个零点，
当时，，，有1个零点，
因此时无零点，时有1个零点；
②，，此时，，
，，
，
设，则，
故，
若即，即时无零点，
若即，即时有1个零点，
综上，，，时无零点，
，时有1个零点．
10．已知函数．
（1）当时，求零点的个数；
（2）当，时，求极值点的个数．
【解答】解：（1）由题意，，
，
由于，，又，
，在，上单调递增，
，，
函数在，上有唯一零点；
（2）由题意，，，
则，
令，，
①当时，，，
，
函数在，上无极值点，
②当时，，
当时，，，
在，上递增，，即，
当时，，
，
在，递增，即，
是在，上的极小值点，
③当时，，，则，无极值点，
④当时，，，
，
在，上递减，且，，
在，上有唯一零点，
当时，，当时，，
故是函数的一个极大值点，
综上，函数存在2个极值点．
11．已知函数，，，．
（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；
（2）若任意，，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），
，
函数在处的切线斜率为，
，解得：；
（2）由（1）得：，，，
令，解得：或，
①当时，，在，上，，
故，递减，
在，上，，故，递增，
要使任意，，恒成立，
即有，解得：，不合题意；
②当时，在，上，，，
故，递增，
在上，，，故，递减，
在，上，，，故，递增，
要使任意，，恒成立，即有，解得：，不合题意；
③当时，结合②易知，在，递增，在，递减，在，递增，
要使任意，，恒成立，即有，解得：，故，满足题意，
④当时，在，递增，在，递减，
要使任意，，恒成立，即有，解得：，
故，，满足题意，
综上：，．
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