第2课时 一元二次不等式的综合问题
学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
一、简单的分式不等式
问题 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？
提示 >0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.
例1 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴∴
即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，>0，
则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
反思感悟 分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
解 (1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以原不等式的解集为{x|－1二、简单的一元二次不等式恒成立问题
例2 对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
解 若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则
解得－4综上，m的取值范围为{m|－4延伸探究
在本例中，是否存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
解 显然m＝0时不等式不成立；
由题意可得解得m∈ ，
所以不存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0.
反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
跟踪训练2 若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案 {k|－3解析 当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得
解得－3因此实数k的取值范围为{k|－3三、一元二次不等式的实际应用
例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0反思感悟 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为(80＋10x)·(20－x)元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以(80＋10x)(20－x)≥1 800.
化简，得x2－12x＋20≤0.解得2≤x≤10，
所以20≤10x≤100.又由题意可知80＋10x≤130，所以10x≤50.因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元．
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法．
(2)一元二次不等式的恒成立问题．
(3)一元二次不等式在现实生活中的应用．
2．方法归纳：等价变形转化、恒等变形．
3．常见误区：
(1)解分式不等式的等价变形．
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≥0的解集为( )
A．(－1,1] B．[－1,1)
C．[－1,1] D．(－1,1)
答案 B
解析 原不等式
∴－1≤x<1.
2．不等式≥5的解集是________．
答案
解析 原不等式 －5≥0 ≤0 解得03．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
答案 a>4或a<－4
解析 ∵x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
即不等式x2＋ax＋4<0有解，
∴Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．不等式≤0的解集是( )
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－1答案 D
解析 此不等式等价于
∴－12．不等式≥1的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，
则原不等式的解集为.
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2}
B．{x|1C．{x|x>2或x<－1}
D．{x|－1答案 C
解析 x＝1为ax－b＝0的根，
∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
4．关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )
A．0≤k<1 B．0C．k>1或k<0 D．k≤0
答案 A
解析 由题意得不等式kx2－6kx＋k＋8≤0的解集为空集，
则当k＝0时，8≤0不成立，
因此，k＝0满足题意．
当k≠0时，必有
解得0综上得0≤k<1，所以实数k的取值范围是0≤k<1.
5．(多选)若对任意x∈[a，a＋2]，不等式x2－2x－3≤0恒成立，则实数a的值可能为( )
A．－2 B．－1
C. D．2
答案 BC
解析 不等式x2－2x－3≤0的解集是[－1,3]．
因为对任意x∈[a，a＋2]，不等式x2－2x－3≤0恒成立，
所以[a，a＋2] [－1,3]，
所以
解得－1≤a≤1.
所以实数a的值可能为－1，.
6．(多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的可能取值为( )
A．5 B．20 C．35 D．50
答案 BC
解析 第一次操作后，剩下的纯药液为V－10，第二次操作后，剩下的纯药液为V－10－×8，因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，所以V－10－×8≤V×60%，解得5≤V≤40，又V≥10，所以V的取值范围为[10,40]．
7．不等式≥－1的解集是________．
答案 {x|x≤0或x>1}
解析 ≥－1 ＋1≥0 ≥0
∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}．
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
答案 20
解析 由已知，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)，
所以x≥20，即x的最小值为20.
9．已知关于x的不等式x2－2x－1>a(a∈R)．
(1)若a＝1，求不等式x2－2x－1>a的解集；
(2)若不等式x2－2x－1>a的解集为R，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式x2－2x－1>a，
即x2－2x－1>1，
可得(x－1)2－3>0，
即 (x－1－)(x－1＋)>0，
解得x<1－或x>1＋.
即不等式的解集为(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)．
(2)因为不等式x2－2x－1>a的解集为R，
所以x2－2x－1－a>0恒成立，
则函数y＝x2－2x－1－a的图象恒在x轴上方，与x轴无交点，从而一元二次方程x2－2x－1－a＝0无实数根，
∴Δ＝22－4×(－1－a)<0，
解得a<－2.
即实数a的取值范围为(－∞，－2)．
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x应在的范围内．
11．不等式<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1答案 A
解析 原不等式等价于
解得－112．设集合P＝{m|－1A．P?Q B．Q P
C．P＝Q D．P∩Q＝Q
答案 A
解析 集合Q中，当m＝0时，－4<0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4<0对任意实数x∈R恒成立可得
解得－1综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以P?Q.
13. 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________，不等式<0的解集是________________．
答案 {x|1解析 由题图直接可得不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|11和2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－＝3且＝2，
所以b＝－3a，c＝2a且a>0.
不等式<0等价于(ax＋b)(cx＋a)<0，
即(x－3)(2x＋1)<0，所以－14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________．
答案 乙车
解析 由题意列出不等式
s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．在R上定义运算a*b＝(a＋1)b，若存在x∈[1,2]，使不等式(m－x)*(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为________．
答案 (－3,2)
解析 ∵存在x∈[1,2]，
使不等式(m－x)*(m＋x)<4成立，
∴存在x∈[1,2]，
使不等式(m－x＋1)×(m＋x)<4成立，
∴存在x∈[1,2]，使不等式x2－x＋4>m2＋m成立，
∵x∈[1,2]，
∴函数y＝x2－x＋4的最大值为22－2＋4＝6.
∴6>m2＋m，∴－316．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(米/秒)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)．
阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动
时间 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3
距离 d0＝20米 d1 d2 d3＝v2米
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式；并求k＝0.9时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？
解 (1)根据题意，得d＝d0＋d1＋d2＋d3＝20＋0.8v＋0.2v＋＝20＋v＋，
所以所求函数关系式为d＝20＋v＋，0≤v≤33.3.
当k＝0.9时，t＝＝＋1＋＝＋＋1≥2＋1＝(秒)，
当且仅当v2＝360，即v＝6时等号成立，
所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒．
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，
则路况最糟糕时也需满足，
即k＝0.5时，d＝20＋v＋<80，
即v2＋10v－600<0，
解得0≤v<20,20米/秒＝72千米/时，
所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/时．3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
学习目标 1.从函数观点看一元二次不等式，了解一元二次不等式的意义.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
导语
通过前面的学习，我们知道一元一次不等式的解集和一元一次方程的解、一次函数的图象有关系，那么一元二次方程、二次函数和怎样的不等式有关系呢？如何求这一类不等式的解集呢？带着这个问题，我们开始这节课的学习．
一、一元二次不等式的解法
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.
由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
知识梳理
一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
注意点：
一元二次不等式一般形式中，应注意二次项系数a≠0.
问题2 二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示 函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根．
问题3 你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？
提示 从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2知识梳理
二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2)
注意点：
(1)当a>0时，若不等式对应的一元二次方程能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．
例1 解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
(2)－x2＋6x－9≥0；
(3)x2－2x－3>0.
解 (1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．
观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
二、“三个二次”间的关系
例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
延伸探究
1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，
故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－故原不等式的解集为.
2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为
知a<0.
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为
x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
故所求不等式的解集为.
反思感悟 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
跟踪训练2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为
.
三、含参的一元二次不等式的解法
例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为 ；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，
解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.
解 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为
x1＝－1，x2＝a，
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a当a＝－1时，原不等式解集为 ；
当a>－1时，原不等式解集为{x|－11．知识清单：
(1)一元二次不等式的解法．
(2)三个“二次”之间的关系．
2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法．
3．常见误区：在求解不等式ax2＋bx＋c>0时，忽略a的正负导致出错．
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )
A. B.
C． D．R
答案 D
解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，
所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
答案 C
解析 3＋5x－2x2≤0 2x2－5x－3≥0
(x－3)(2x＋1)≥0 x≥3或x≤－.
3．若0A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵01>m，
故原不等式的解集为.
4．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}， RA等于( )
A．(－1,2)
B．[－1,2]
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞－1]∪[2，＋∞)
答案 C
解析 ∵x2－x－2≤0，
∴(x－2)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤2，即A＝[－1,2]．
在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得 RA＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C． D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x≤5，x∈N*}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 (2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.
3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 方法一 取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C.
方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1
4．如果关于x的不等式x2A．－81 B．81
C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2那么，由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3，所以ba＝(－3)4＝81.
5．(多选)下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案 AC
解析 A中Δ＝12－4×1<0.满足条件；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
6．(多选)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则以下结论正确的有( )
A．a＜0
B.＝－1
C．cx2＋bx＋a>0的解集为
D．a＋2b＋3c>0
答案 ABD
解析 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，故a<0，故A正确；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
＝2×＝－1，故B正确；
－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
－＝2－＝，
＝2×＝－1，
当x＝0，c>0，
故cx2＋bx＋a＝cx2＋cx－c>0，
解得x∈(－∞，－2)∪，C错误；
根据对称轴－＝和4a＋2b＋c＝0可推出
代入选项中的式子可得a＋2b＋3c＝a＋2×－3a＝－5a>0，故D正确．
7．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B A，则a的取值范围为________．
答案 {a|a≤1}
解析 A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，
B＝{x|x8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
答案
解析 由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，
即为2x2－5x＋2<0，
解得即不等式ax2－bx＋c>0的解集为.
9．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
解 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当a<0时，x1综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a当a＝0时，原不等式的解集为 ；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a10．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集为.
11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2或x>1}
D．{x|－1答案 B
解析 根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－212．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是( )
A．R
B．空集
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－2,3)
答案 C
解析 由题意知，二次函数图象开口向上，当x＝－2和x＝3时，y＝0，故ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
13．(多选)不等式mx2－mx－2<0的解集可能是( )
A．R B．
C. D．(－1,2)
答案 ACD
解析 当m＝0时，mx2－mx－2<0的解集为R；
当m>0，mx2－mx－2＝0的两个根异号，
且
即m＝1时，该不等式的解集为(－1,2)；
当m<0，Δ＝(－m)2＋8m<0，
即－8当m<0，Δ＝(－m)2＋8m＝0，
即m＝－8时，不等式mx2－mx－2<0的解集为；
当m<0，Δ＝(－m)2＋8m>0，即m<－8的解集在两个根之外，解集不可能为空集．
14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1答案 2
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|10，
且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则
即1＋m＝，
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
15．对于实数x，当且仅当n≤x答案 {x|2≤x＜8}
解析 由4[x]2－36[x]＋45<0，
得<[x]<，
又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，
[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x＜8}．
16．已知函数y＝ax2－(a＋2)x＋2，a∈R.
(1)y<3－2x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a>0时，求不等式y≥0的解集．
解 (1)由题意得ax2－(a＋2)x＋2<3－2x恒成立，即ax2－ax＋(－1)<0恒成立，
当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意；
当a≠0时，
则
解得即－4综上可得－4(2)由题意知，ax2－(a＋2)x＋2≥0, 即 (ax－2)(x－1)≥0，
由于a>0，则(x－1)≥0，
且－1＝.
①当01，不等式的解集为；
②当a＝2时，不等式的解集为R；
③当a>2时，<1，不等式的解集为；
综上可得，当0当a＝2时，不等式的解集为R；当a>2时，不等式的解集为.