第2课时 换底公式及对数的应用
学习目标 1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
一、换底公式
问题1 上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
提示 设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log927＝.
问题2 是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1)？说出你的理由．
提示 依据当a>0，a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出．
令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，
故b＝ax，
∴x＝logab，∴logab＝.
知识梳理
换底公式
(1)logaN＝(a>0，a≠1，N＞0，c>0，c≠1)．
(2)对数换底公式的重要推论：
①logaN＝(N>0，N≠1；a>0，a≠1)；
②l(a>0，a≠1，b>0)．
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
例1 (1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解 (1)原式＝
＝·＝×＝.
(2)方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝.
反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1 (1)的值是( )
A. B. C．1 D．2
答案 A
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即＝＝·＝.
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即＝＝＝.
(2)计算：.
解 原式＝·
＝－·log32·3log23＝－.
二、有附加条件的对数式求值问题
例2 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解 (1)方法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364＝log3636＝1.
方法二 由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
反思感悟 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
跟踪训练2 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
解 ∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，
即c＝(负值舍去)．
三、对数的实际应用
例3 一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)
解 设经过x年，这台机器的价值为8万元．
则8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
等号两边同时取常用对数，得x＝＝＝≈10.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
反思感悟 解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3 某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年)
解 设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)．
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2.
则50×(1－28%)x＝20.
即0.72x＝0.4.等号两边同时取常用对数，
得xlg 0.72＝lg 0.4.
故x＝＝
＝＝
≈＝
≈3.
所以约3年后每桶的生产成本为20元．
1．知识清单：
(1)换底公式．
(2)有附加条件的对数式求值问题．
(3)对数的实际应用．
2．方法归纳：换底公式、转化法．
3．常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．
1．0.25－＋log23·log34的值为( )
A. B. C．1 D.
答案 D
解析 原式＝－＋×
＝－＋×＝.
2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( )
A．3 B．8 C．4 D．log48
答案 A
解析 由2x＝3得x＝log23，
∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋
＝log23＋(3log22－log23)＝3.
3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
答案 D
解析 由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.
故与最接近的是1093.
4．若xlog32＝1，则4x的值是( )
A．9 B．3
C．2log32 D．2log23
答案 A
解析 因xlog32＝1，
则x＝＝log23，
所以4x＝＝32＝9.
1．化简得log832的值为( )
A. B．2 C．4 D.
答案 D
解析 log832＝＝＝.
2．(log29)(log34)等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝×＝＝4.
方法二 原式＝2log23×＝2×2＝4.
3．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则( )
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
答案 C
解析 由题意得令log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
4.等于( )
A．lg 3 B．－lg 3 C. D．－
答案 C
解析 原式
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，
代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，
所以lg ＝10.1，
所以＝1010.1.
6．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
答案 AB
解析 a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；
＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；
＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．
7．log23·log34·log42＝________.
答案 1
解析 原式＝··＝1.
8．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log916＝________(用a，b的代数式子表示)
答案
解析 log916＝＝＝＝.
9．计算下列各式的值：
(1)log535＋－log5－log514；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
解 (1)原式＝log535＋log550－log514＋
＝log5＋
＝log553－1＝2.
(2)方法一 原式
＝
＝
＝log25·3log52
＝13log25·＝13.
方法二 原式＝
＝
＝＝13.
10．设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
证明 设xa＝yb＝zc＝k，k>0，
则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.
因为＋＝，
所以＋＝，
即logkx＋logky＝logkz.
所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
11．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
答案 C
解析 ∵log83＝＝＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝.
12．计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为( )
A．4 B. C. D.
答案 B
解析 log89×log910×log1011×…×log3132
＝×××…×＝
＝＝.
13．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
∴＝，等号两边取常用对数，
可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230
≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.
∴≈10－1.88≈.
14．已知a＝，log74＝b，则log4948＝________(用a，b表示)．
答案
解析 由a＝，得a＝log73，
又b＝log74，
∴log4948＝＝＝
＝.
15．已知实数x，y，正实数a，b满足ax＝by＝2，且＋＝－3，则a2＋b的最小值为________．
答案
解析 由题意得x＝loga2，y＝logb2，
所以＋＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)＝－3，
所以a2b＝，a2＋b≥2＝，当且仅当a2＝b，即a＝，b＝时等号成立．
16．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
解 由换底公式，
得logax＋－＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以(t≠0)．4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用．
一、对数的运算性质
问题1 将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示 由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N)．
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．
问题2 结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示 将指数式＝ap－q化为对数式，得
loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)．
问题3 结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示 由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)．
知识梳理
对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立．
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
例1 求下列各式的值．
(1)ln e2；(2)log3e＋log3；(3)lg 50－lg 5.
解 (1)ln e2＝2ln e＝2.
(2)log3e＋log3＝log3＝log33＝1.
(3)lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
反思感悟 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；
(4)log35－log315.
解 (1)方法一 log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二 log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(3)ln 3＋ln ＝ln＝ln 1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3
＝log33－1＝－1.
二、利用对数的运算性质化简、求值
例2 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解 (1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
反思感悟 对数运算性质的综合应用解题思路
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
跟踪训练2 计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解 (1)方法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
方法二 原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg(·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.
三、对数运算性质的综合应用
例3 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝________.
答案 b＋3a－1
解析 lg ＝lg 12－lg 5
＝lg(3×22)－(1－lg 2)
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2
＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
反思感悟 对数运算性质的综合应用中的求值(或用代数式表示)问题思路
依据对数的运算性质，将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练3 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
解 (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg
＝lg x＋lg y3－
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg(y2z)
＝－(lg y2＋lg z)
＝lg x－2lg y－lg z.
1．知识清单：
(1)对数的运算性质．
(2)利用对数的运算性质化简、求值．
(3)对数运算性质的运用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则．
1．(多选)若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的有( )
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C．(logax)n＝logaxn
D.＝loga
答案 BD
解析 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，a≠1)知BD正确．
2．2log510＋log50.25等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为( )
A．a－b2 B．a－2b
C. D.
答案 B
解析 ∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b.
4.＝________.
答案 2
解析 原式＝＝＝2.
1．log242＋log243＋log244等于( )
A．1 B．2 C．24 D.
答案 A
解析 原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2．已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2
答案 A
解析 因为3a＝2，所以a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
3．计算lg 2－lg －eln 2等于( )
A．－1 B. C．3 D．－5
答案 A
解析 原式＝lg－2＝－1.
4．下列计算正确的是( )
A．(a3)2＝a9
B．log26－log23＝1
C．
D．log3(－4)2＝2log3(－4)
答案 B
解析 由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，＝a0＝1，
所以A，C不正确；
由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，所以B正确；
根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log34，
而log3(－4)无意义，所以D不正确．
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2 B. C．100 D.
答案 C
解析 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，
∴lg(ab)＝2，
∴ab＝100.
6．(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是( )
A．f(ab)＝f(a)＋f(b)
B．f(ab)＝f(a)f(b)
C．f ＝f(a)＋f(b)
D．f ＝f(a)－f(b)
答案 AD
解析 ∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，
∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b
＝f(a)＋f(b)，
f ＝log5＝log5a－log5b＝f(a)－f(b)．
7．lg ＋lg 的值是________．
答案 1
解析 原式＝lg ＝lg 10＝1.
8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案 4
解析 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)
＝lg(x－2y)2，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
9．已知lg 2＝m，lg 3＝n，试用m，n表示.
解 ∵lg 2＝m，lg 3＝n，∴＝＝＝.
10．计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋；
(2)2log32－log3＋log38－.
解 (1)原式＝＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
11．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝，即logx(abc)＝.
12．已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是( )
A．1 B．3 C. D.
答案 D
解析 由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2－x＝3＋＝.
13．已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，则f(log2128)＋f(log216)等于( )
A．6 B．0 C．－6 D．－12
答案 C
解析 因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，
故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)
＝f(－1)＝－6，
f(4)＝f(0)＝0，
所以f(log2128)＋f(log216)
＝f(log227)＋f(log224)
＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
14．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f ＝4，则f(2 023)＝________.
答案 0
解析 由f ＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 023－blog32 023＝2.
∴alog22 023＋blog32 023＝－2，
∴f(2 023)＝alog22 023＋blog32 023＋2＝－2＋2＝0.
15．设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2－2x＋log2(c2－b2)－2log2a＋1＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是______．
答案 直角三角形
解析 由题意得
Δ＝4－4log2(c2－b2)＋8log2a－4＝0，
∴2log2a＝log2(c2－b2)．
∴a2＝c2－b2，故有a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
16．已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值．
解 (1)lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3
＝3a＋2b；
lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a.
(2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2
＝lg 2＋lg 3＋lg ＝lg ，
所以x＝＝0.06.
