苏教版高中数学必修1第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末复习课（学案 word版含解析）

章末复习课
一、幂函数
幂函数的图象及应用是考查重点，主要应用有两方面：一是识图或用图，二是单调性的应用，渗透直观想象与逻辑推理的核心素养．
例1　(1)若函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为________．
答案　1
解析　由图象可知，m2－2m－3为负偶数，且m∈Z，所以m＝1.
(2)实数的大小关系是____________________．
答案　
解析　∵在其定义域内是增函数，
而，0.7<<1.7，
反思感悟　幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量．可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的正整数a＝________.
答案　3
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴<0，∴a>1.
又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，且在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，
∴1－a为负偶数，∴a为奇数，
∴最小的正整数a＝3.
二、指数函数、对数函数的图象及其应用
1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
例2　(1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
答案　C
解析　函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B，
若0此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足；若a>1，则f(x)＝ax是增函数，
此时g(x)＝loga是增函数，C满足．
(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－k＝0有3个根，则实数k的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
答案　C
解析　方程f(x)－k＝0有3个根，即函数f(x)的图象与直线y＝k有3个不同的交点．作出函数f(x)的图象，如图．根据图象可得，当0反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．
跟踪训练2　(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)
答案　A
解析　若0又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，A，B，C，D都不满足．
若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴
x＝在y轴右侧，A满足．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0]∪(1，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(0,1]
答案　D
解析　作出f(x)的图象如图所示，要使关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同实数根，即f(x)的图象与直线y＝m有两个交点，如图，0三、指数函数、对数函数的性质及其应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解，解决与指数、对数函数有关的复合函数等问题．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
例3　(1)设a＝log2π，，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
答案　C
解析　∵a＝log2π>log22＝1，
c＝π－2＝，即0∴a>c>b.
(2)已知函数f(x)＝log2(a∈R)是奇函数．
①求a的值；
②对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围．
解　①方法一　令＋1>0，
则>0.
∴x<－a－1或x>－a.
∵f(x)是奇函数，
∴其定义域关于原点对称，∴－a－1－a＝0，
∴a＝－.
验证a＝－时，f(x)＝log2，
则f(－x)＝log2＝log2
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，
综上，a＝－.
方法二　f(x)＝log2
＝log2，
则>0
A＝，
因为f(x)是奇函数，
故 x∈A，f(－x)＝－f(x)，
即log2＝－log2
＝log2，
所以＝，
即(1＋a)2－x2＝a2－x2，
解得a＝－.
②由①得f(2x＋1)>log2(m－2x) log2
>log2(m－2x) m<2x＋＋＋，
令u＝2x＋，x∈(－∞，0)，
所以u∈，令g(u)＝u＋＋.
易知g(u)≥，当且仅当u＝，即u＝1时取等号，所以m<，
又由m－2x>0 m>2x，故m≥1，
所以实数m的取值范围是.
反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决；研究复合函数的奇偶性、单调性时勿忘定义域．
跟踪训练3　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x答案　C
解析　因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误；
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
解　①因为loga3>loga2，所以a>1，
所以f(x)＝logax在[a,3a]上单调递增．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，
即loga3＝1，
所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2
＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.
令t＝log3x，
因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，
即0≤t≤1.
所以y＝2＋∈，
所以所求函数的值域为.