第1课时 函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．
导语
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
一、函数的单调性的判定与证明
问题1 观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示 函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2 如何理解函数图象是上升的？
提示 从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐增大．
知识梳理
增函数与减函数的定义
前提条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A
条件 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1
都有f(x1) f(x2)
图示
结论 y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在I上单调递增)，I称为y＝f(x)的增区间 y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在I上单调递减)，I称为y＝f(x)的减区间
注意点：
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
(2)单调性应注意“三特性”：①同区间性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替；③有序性，即要规定x1，x2的大小．
(3)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
例1 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明： x1，x2∈(1，＋∞)，
设x1有f(x2)－f(x1)＝－＝，
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1于是<0，
即f(x1)>f(x2)，
因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
证明 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝
∵0∴x1－x2<0,0∴>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
二、求函数的单调区间
问题3 “函数y＝f(x)在I上为增函数”与“函数y＝f(x)的增区间为I”含义相同吗？
提示 不同．“函数y＝f(x)在I上为增函数”是指区间I为函数y＝f(x)的一个增区间，还可能存在其他增区间；“函数y＝f(x)的增区间为I”是指除区间I外，函数y＝f(x)不存在其他增区间．
知识梳理
函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
注意点：
(1)如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
(2)单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
解 (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，
当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3
＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
反思感悟 求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象．
提醒：若所求出函数的增区间或减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
跟踪训练2 借助函数图象，求函数f(x)＝|x2－1|＋x的增区间．
解 当x≥1或x≤－1时，
f(x)＝x2＋x－1
＝2－；
当－1f(x)＝－x2＋x＋1
＝－2＋.
作出函数f(x)的图象(如图实线部分)．
由图可知函数f(x)的增区间为，[1，＋∞)．
三、函数单调性的简单应用
例3 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4]
解析 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
解得a≤－4，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为______．
答案 (－∞，1)
解析 ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f(x)的增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
答案 －4
解析 由(1)知，函数f(x)的增区间为(－∞，－a－1]，
所以－a－1＝3，a＝－4.
2．若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
解 由题意可知，
解得x>，
∴x的取值范围为.
反思感悟 由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)类——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
跟踪训练3 (1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有( )
A．f(－1)≥f(a2＋1)
B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1)
D．f(－1)答案 B
解析 ∵f(x)在R上是减函数，
∴对任意x1，x2，若x1均有f(x1)>f(x2)．
又∵－1f(a2＋1)．
(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)答案
解析 依题意，得不等式组
解得1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调性与单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．
1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
答案 C
解析 由图象知增区间为[－3,1]．
2．若函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案 C
解析 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5)．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上( )
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 y＝|x＋2|＝即可作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数．
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)答案 (－2,1)
解析 由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，
解得－21．(多选)下列函数中，在区间(0,2)上为减函数的是( )
A．y＝5－x B．y＝x2＋2
C．y＝ D．y＝－|x|
答案 ACD
解析 选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
2．函数y＝x2－2|x|＋1的增区间是( )
A．(－1,0) B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)和(0,1)
答案 B
解析 y＝x2－2|x|＋1＝
作出其图象如图所示，
由图象可知，函数的增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
3．(多选)下列说法中，正确的有( )
A．若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数f(x)＝在定义域上是减
函数
D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 AC
解析 当x1由>0知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)作出函数f(x)＝的图象(图略)可知其在定义域上是减函数，
∴C正确；B和D错误．
4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的增区间分别是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1]
B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1]
D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
答案 C
解析 分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，得f(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(x)在(－∞，1]上为增函数．
5．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
答案 B
解析 ∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝－为函数的对称轴，又
∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，
故2≤－，解得a≤－.
6．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
答案 D
解析 由题意知a＋b≤0，
得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
7．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案
解析 由题意，得
解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是.
8．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 函数f(x)＝的减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上是减函数，所以a≥－1.
9．已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
解 (1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.所以
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
设1≤x1f(x1)－f(x2)＝
x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
所以<0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解 设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)
＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，
∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵x1x2>1，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
答案 B
解析 由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．
12．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上是增函数，
故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2.
13．已知函数f(x)＝在(0，a－3)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3,4] B．[3,5]
C．(3,4] D．(3,5]
答案 D
解析 函数f(x)＝画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
∵函数f(x)在(0，a－3)上是减函数，
∴由图象可知0故实数a的取值范围是(3,5]．
14．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案 [4,8)
解析 因为f(x)是R上的增函数，
所以
解得4≤a<8.
15．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且>0.
则f(－1)，f ，f(2)的大小顺序是______．(用“<”连接)
答案 f(－1)解析 由①知f(1)＝－f(0)，
f(0)＝－f(－1)，所以f(－1)＝f(1)．
由③知<0，
所以函数f(x)在[0,1]上是减函数，
结合②知，函数f(x)在[1,2]上是增函数，
所以f(1)即f(－1)16．已知函数f(x)＝x2－2x＋b.
(1)若b＝1，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围．
解 (1)当b＝1时，
f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
(2)因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，
且f(x)在[m，n]上单调，
当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上是增函数，
此时
即
等价于方程x2－3x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，
令g(x)＝x2－3x＋b，
则有
解得2≤b<；
当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上是减函数，
此时
即
两式相减得(m－n)(m＋n－1)＝0，
即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n，
由m将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程
n2－n＋b－1＝0在上有解，
即为函数b＝－n2＋n＋1在上的值域问题，
因为b＝－n2＋n＋1＝－2＋在上是减函数，所以b∈.
综上所述，b的取值范围是∪.第2课时 函数的最值的综合应用
学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
导语
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
你能从图中得出该天的最高气温和最低气温吗？
一、利用图象求函数的最大(小)值
问题1 如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．
提示 函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
问题2 你是怎样理解函数图象最高点的？
提示 图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
知识梳理
1．函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)
结论 那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0) 那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标．
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值．
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．
2．求函数最值的常用方法
(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
(2)运用函数的单调性：若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)；若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
(3)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
例1 已知函数f(x)＝|x|(x＋1)．
(1)试画出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间上的最大值．
解 (1)f(x)＝|x|(x＋1)＝
的图象如图所示．
(2)由图象可知，
f(x)的增区间为，(0，＋∞)；
减区间为.
(3)因为f ＝，f ＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解 y＝－|x－1|＋2＝
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
二、利用函数的单调性求函数的最值
例2 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
反思感悟 利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在[1,4]上是增函数，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，
最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，
最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.
三、二次函数的最值问题
例3 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值m(t)；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t)．
解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，
f(x)的最大值为f(0)＝1.
综上，m(t)＝
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f ＝.
综上，g(t)＝
反思感悟 (1)含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
(2)对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
①区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
②对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
跟踪训练3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解 函数f(x)＝x2－2x＋3的图象开口向上，其对称轴为x＝1，
(1)当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
(2)当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t,1]上是减函数，在[1，t＋1]上是增函数，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(1)＝2.
(3)当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得，g(t)＝
1.知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义．
(2)求解函数最值的方法．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
1. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f ，f
B．f(0)，f
C．f ，f(0)
D．f(0)，f(3)
答案 B
解析 观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案 D
解析 ∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 当－1≤x<1时，6≤f(x)<8；
当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，
所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________．
答案 ±2
解析 由题意知a≠0，
当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；
当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，
解得a＝－2.综上知a＝±2.
1．(多选)下列函数在[0，＋∞)上最小值为－2的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝3x－2
C．y＝x2－2x－1 D．y＝1－x
答案 ABC
2．函数f(x)＝x＋，x∈[0,4]的值域为( )
A．[0,3] B．[1,4]
C．[0,6] D．[0,4]
答案 C
解析 ∵函数y＝x＋在区间[0,4]上是增函数，
∴f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0,6]．
3．函数f(x)＝的最大值为( )
A．1 B．2 C. D.
答案 B
解析 当x≥1时，函数f(x)＝是减函数，
此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；
当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2.
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
答案 C
解析 设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
所以f(x)在[0,1]上是增函数．
又因为f(x)在[0,1]上的最小值为－2，
所以f(0)＝－2，即a＝－2.
所以f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．(多选)已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是( )
A．函数f(x)一定存在最大值
B．函数f(x)一定存在最小值
C．函数f(x)一定不存在最大值
D．函数f(x)一定不存在最小值
答案 ABD
解析 ∵函数f(x)＝
其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，
∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，
则f(x)的最小值为0，故D错误；
若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，则f(x)无最小值，故B错误；
由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f(x)无最大值，故A错误，C正确．
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a答案 －2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，
∵a即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
8．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
答案 2
解析 f(x)的图象如图，
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在区间上取得的最大值为5，求实数a的值．
(1)证明 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝，∵0∴x1－x2<0，x1·x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(2)解 由题意知，f(x)＝－在区间上是增函数，∴f(x)max＝f(4)＝5，
∴f(4)＝－＝5，解得a＝.
10．已知函数f(x)＝(x>0)．
(1)求证：f(x)在(0,1]上是增函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
(1)证明 设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
当00，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上是增函数．
(2)解 当1≤x1x2－x1>0，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
∴结合(1)(2)可知，f(x)的最大值为f(1)＝，无最小值．
11．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 易知f(x)＝＝2＋，
所以f(x)在区间[3,4]上为减函数，
所以M＝f(3)＝2＋＝6，
m＝f(4)＝2＋＝4，
所以＝＝.
12．(多选)当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的值可以为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 AB
解析 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，
∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.∴－2，－1可以．
13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，－2] D．[1,2]
答案 D
解析 f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2，故选D.
14．函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为________；最小值为________．
答案 5 4
解析 设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝x1－x2＋
＝(x1－x2)·
＝(x1－x2)·
＝.
∵1≤x1∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理，f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
15．(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3 B．最小值为－1
C．无最小值 D．无最大值
答案 CD
解析 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，
可得F(x)无最大值，无最小值．
16．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
(1)证明 设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，
因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的减函数．
(2)解 由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.