第1课时 奇偶性的概念
学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
导语
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
而对称美在函数中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究函数中的对称美．
一、函数的奇偶性的概念及判断
问题1 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示 这两个函数图象都关于y轴对称．
问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
提示 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
问题3 观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．
知识梳理
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数 关于原点对称
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称．
(3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.
(4)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－|x3|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝1－|－x3|＝1－|x3|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
则f(x)＝0，
又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)既是偶函数又是奇函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
反思感悟 判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)．
解 (1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
二、奇、偶函数的图象及应用
例2 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)由题意作出函数图象如图．
(2)据图可知，增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2
延伸探究
1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解 结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．
2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解 (1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)据图可知，增区间为(－1,1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}．
反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
跟踪训练2 定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解 (1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)三、利用函数的奇偶性求值
例3 (1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.
答案 －1 1
解析 当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
即ax2－bx＝－x2－x，
∴a＝－1，b＝1.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案 7
解析 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
反思感悟 利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案 －1
解析 因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f(f(－2))＝________.
答案 1
解析 因为f(x)为R上的偶函数，
所以f(－2)＝f(2)＝0，
所以f(f(－2))＝f(0)＝1.
1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
(3)利用函数的奇偶性求值．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称．
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
答案 C
解析 ∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
答案 B
解析 选项A，C中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
3．(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
C．y＝ D．y＝x|x|
答案 CD
解析 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
1．(多选)下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
答案 ABC
解析 选项ABC中的函数满足f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 B
解析 ∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－.
4．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
答案 C
解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
5．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
6．(多选)若f(x)为R上的奇函数，下列四个说法正确的是( )
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D.＝－1.
答案 AB
解析 ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，
故A正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，
故B正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，
故C不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，
故D不正确．
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为____________，f(－2)＝________.
答案 5 －6
解析 因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
f(－2)＝(－2)2＋5×(－2)＝－6.
8. 奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则f(－2)＋f(－1)的值为________．
答案 －2
解析 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)若f(1)＝3，求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．
解 (1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，
所以a＝2>0满足题意．
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为
(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－
＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解 (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
11．函数f(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 B
解析 若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；
若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.
∴函数f(x)是偶函数．
12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 ABD
解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数．
13．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________．
答案 0
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)
＝f(2)－f(2)＝0.
14. 设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
答案 [－6，－3)∪(0,3)
解析 由f(x)在[0,6]上的图象知，
满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．
又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．
综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案
解析 根据题意，
f(x)＝＝1＋，
而h(x)＝是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)
＝2－[1＋h(a)]
＝2－f(a)＝2－＝.
16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
(1)证明 由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)解 由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)
＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
一、利用奇偶性与单调性比较大小
问题 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上为减函数，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示 奇函数在(1,2)上为减函数，偶函数在(1,2)上为增函数．
知识梳理
函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a例1 设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案 A
解析 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练1 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“>”或“<”)
答案 <
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上是减函数，
∴f(5)二、根据奇偶性求函数的解析式
知识梳理
用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
例2 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
延伸探究
1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝.②
联立①②得f(x)＝，g(x)＝.
反思感悟 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练2 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
解 设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，
∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
三、利用单调性与奇偶性解不等式
例3 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
跟踪训练3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为____________________．
答案 {x|－33}
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}．
1．知识清单：
(1)根据奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．已知奇函数在(－∞，0)上是增函数，则( )
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
答案 B
解析 ∵f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(1)2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f B．f(2)C．f(2)D．f(－1)答案 B
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，
∴f(2)＝f(－2)3．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则满足条件f(2x＋1)A．(－∞，2) B.
C．(2，＋∞) D.
答案 A
解析 奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以由f(2x＋1)4．已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
答案 x－1
解析 当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1.
1. 已知定义在区间[－7,7]上的偶函数，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是( )
A．这个函数仅有一个增区间
B．这个函数有两个减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案 C
解析 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个增区间；有三个减区间；在其定义域内最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
答案 B
解析 方法一 当x<0时，f(x)＝x2＋x＝2－，所以f(x)有最小值－，
因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二 (直接法)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x
＝－2＋，
所以f(x)有最大值.
3．(多选)若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．增区间为(－∞，0] D．减区间为(－∞，0]
答案 AC
解析 因为函数为偶函数，
所以a＋2＝0，a＝－2，
所以该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．
4．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
5．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上( )
A．是增函数且最小值为－5
B．是增函数且最大值为－5
C．是减函数且最小值为－5
D．是减函数且最大值为－5
答案 A
解析 ∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
6．(多选)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)A．f(0)>f(1) B．f(2)C．f(－3)f(3)
答案 AD
解析 由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)成立，f(－1)>f(－3)＝f(3)成立，其他选项不成立．
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 因为f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＝f(|x－1|)．
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以|x－1|<2，解得－2所以－18．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)．则函数f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝
解析 设－3－x>0，
则有f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)，
又因为f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝x(x－1)，
又f(0)＝0，
所以f(x)＝
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，
即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
10．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－4(－x)＋3＝x2＋4x＋3，
又∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2＋4x＋3.
∴当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(x)＝
(2)由(1)知f(x)＝(x－2)2－1(x≥0)在[0,2]上单调递减，函数f(x)是偶函数．
∴f(x)＝x2＋4x＋3(x<0)在[－2,0]上单调递增．
又∵f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
∴[－1，a－2] [－2,0]．
∴则1故实数a的取值范围是(1,2]．
11．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，<0，
∴<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，<0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)是减函数且f(－1)＝0，
∴当x<－1时，f(x)>0，<0.
综上，<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
12．函数y＝f(x)在[0,2]上是增函数，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．f C．f D．f 答案 B
解析 ∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f(x)在[0,2]上是增函数，
∴f 即f 13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，
∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝________；若f(m＋1)答案 x2－x－2
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2，
所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2；
f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增，
则f(m＋1)解得m<，
所以实数m的取值范围是.
15．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 023)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 D
解析 因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，
所以当x>0时，
f(2 023)＝f(2 022)＝f(2 021)＝…＝f(1)，
又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.
16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．