第2课时 函数的图象
学习目标 1.理解函数图象的含义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象研究函数的值域．
导语
同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接．
一、画函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)；
(2)y＝(－2≤x<1且x≠0)．
解 (1)图象如图(1)所示．
(2)图象如图(2)所示．
反思感悟 作函数y＝f(x)的图象分两种类型
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象．
(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表、描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．
跟踪训练1 作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝x2＋x(－1≤x≤1)．
解 (1)图象如图(1)所示．
(2)图象如图(2)所示．
二、函数图象的应用
例2 用描点法画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象处理下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小．
(2)若x1解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
f(x) … －5 0 3 4 3 0 －5 …
描点，连线，得函数图象如图：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1延伸探究 把本例(2)中的“若x1解 此时要对x1，x2所处的范围分情况讨论．
根据图象，若x1若1≤x1f(x2)；
若x1<1x2－1时，则f(x1)②当1－x1＝x2－1时，则f(x1)＝f(x2)；
③当1－x1f(x2)．
反思感悟 常借助函数图象解决下列问题
(1)比较函数值的大小．
(2)求函数的值域．
(3)求解不等式或参数范围．
跟踪训练2 函数y＝f(x)的图象如图所示，则：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－2)＝________；
(3)f(f(2))＝________；
(4)若－1答案 (1)4 (2)3 (3)2 (4)f(x1)≥f(x2)
三、由函数图象求函数的值域
例3 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)列表：
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
当x∈[0,2]时，图象是一次函数y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．
反思感悟 数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
解 (1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，
则f(x)的值域是[－1,3]．
1.知识清单：
(1)函数图象的概念．
(2)函数图象的应用．
(3)由函数图象求函数的值域．
2．方法归纳：数形结合法、换元法、配方法．
3．常见误区：未弄清“实”、“虚”点导致画函数图象错误．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是( )
A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
答案 B
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(0)＝______，f(1)＝________，f(f(－2))＝________.
答案 1 －1 1
4．某工厂8年来某产品总量y与时间t(年)的函数关系如图，则：
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产．
以上说法中正确的是________．(填序号)
答案 ①③
解析 从图可以看出，工厂在前3年增长速度越来越快，3年后，产品停止生产．故①③正确．
1．函数y＝x－1(x≥0)的图象是( )
A．一条射线 B．一条线段
C．两条射线 D．一条直线
答案 A
解析 函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线．
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，
则f(g(2))＝f(1)＝2.
3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )
答案 B
解析 A中是同时到达；B中乌龟到达时，兔子还没到；C中乌龟到达时，兔子还在睡觉；D中兔子先到，乌龟后到．
4．函数y＝的大致图象是( )
答案 A
解析 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
5. 如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0答案 D
解析 根据题意和图形可知y＝x2,06．函数f(x)＝x2＋x－2(－1≤x≤2)的值域为( )
A．[－2,4] B.
C. D.
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋x－2，x∈[－1,2]的图象，观察图象可知值域为.
7．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ＝______.
答案 2
解析 由题意知，f(3)＝1，
所以f ＝f(1)＝2.
8．函数的图象如图，则其定义域、值域分别为__________．
答案 (a1，a2)∪[a3，a4]，[b1，b6]
解析 由图象观察知：定义域为(a1，a2)∪[a3，a4]，值域为[b1，b6]．
9．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－x(x>1，或x<－1)．
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)所示．
(2)y＝x2－x(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)所示．
10．画出函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象，根据图象回答下列问题．
(1)比较f(－2)，f(1)，f(2)的大小；
(2)若函数定义域为[－2,2]，求函数的值域；
(3)若x1解 函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象如图所示．
(1)由图象知f(－2)(2)当x∈[－2,2]时，由图象知f(x)的值域为[2,11]．
(3)当x1f(x2)．
11．小明骑车上学，开始匀速行驶，途中因交通堵塞停留一段时间，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 与学校距离应逐渐减小，中间段距离不变，后段加速，下降要比前一段快，故C吻合的较好．
12．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________．
答案 －1
解析 由一次函数、二次函数的图象知，f(x)为一次函数，
则满足所以a＝－1.
13．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
答案 (－∞，2]
解析 ∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}，
画出f(x)的图象(图略)，可知函数f(x)的值域是(－∞，2]．
14．若函数y＝x2－4x的定义域为[－4，a]，值域为[－4,32]，则实数a的取值范围为________．
答案 [2,8]
解析 y＝x2－4x的图象过(4,0)，(0,0)点且关于直线x＝2对称，如图所示．
其中当x＝－4或8时，y＝32，当x＝2时，y＝－4.
只需a∈[2,8]，函数值域不变．
15．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水也不出水．
则正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错．
16．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的图象的对称轴为x＝1，顶点(1,1)且开口向上．
∵m>1，
∴当x∈[1，m]时，图象是二次函数f(x)＝(x－1)2＋1的一部分，
∴由函数的图象可得，要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，
则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件．第1课时 函数的概念
学习目标 1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.
3.会求简单函数的定义域与值域．
导语
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
一、函数的概念的理解
问题1 你还记得初中所学函数的概念吗？
提示 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，x是自变量．
问题2 下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？
(1)某“复兴号”高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这半小时内，列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗？
(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图．你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？
(3)国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．
年份y 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
上表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况．你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
提示 (1)中s是t的函数；(2)中I是t的函数；(3)中r是y的函数．
问题3 上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示 每个例子中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定．每一个例子都涉及确定的函数．
知识梳理
概念 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
对应关系 y＝f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数
定义域 集合A(自变量x的取值范围)
值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
注意点：
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集．
(2)应注意函数定义中的“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．
(3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积．
(4)函数三要素：定义域，对应关系与值域．
例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
答案 AD
解析 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．
(2)下列各组函数表示同一个函数的序号是________．
①f(x)＝2x＋1与g(x)＝；
②f(x)＝|x2－1|与g(t)＝；
③f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1.
答案 ②
解析 对于①，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；
对于②，f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，是同一个函数；
对于③，f(x)，g(x)的定义域都是R，但对应关系不同，不是同一个函数．
反思感悟 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)判断两个函数为同一个函数的注意点
①先求定义域，定义域不同则不是同一个函数；
②若定义域相同，再看对应关系是否相同．
跟踪训练1 (1)(多选)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个选项，不能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
答案 ACD
解析 A中，因为在集合M中当1B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；
C中，x＝2对应元素y＝3 N，所以C不是；
D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是．
(2)下列各组函数中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x＋2
B．f(x)＝x2－3x，g(t)＝t2－3t
C．f(x)＝()2，g(x)＝x
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案 B
解析 A中，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x＋2的定义域为R，故不是同一个函数；
B中，f(x)＝x2－3x与g(t)＝t2－3t定义域都为R，且解析式相同，故是同一个函数；
C中，f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，g(x)＝x的定义域为R，故不是同一个函数；
D中，f(x)＝＝|x|与g(x)＝x解析式不同，故不是同一个函数．
二、函数的定义域
问题4 初中我们学习过哪些函数？
提示 一次函数、二次函数和反比例函数．
问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示 一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)．
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝3－x；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，
即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
所以函数y＝的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(4)要使函数有意义，
则
即
解不等式组得－1≤x<1.
因此函数y＝的定义域为{x|－1≤x<1}．
反思感悟 求函数的定义域应关注三点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝－；
(2)y＝＋.
解 (1)由得
所以定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)由
得x≤－或2≤x<4，
所以定义域为.
三、求函数值或函数的值域
例3 已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
解 (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2
＝a2－2a－1.
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
反思感悟 (1)函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得；
(2)求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则；
(3)配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1,0,1,2}；
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
解 (1)∵函数定义域为{－1,0,1,2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函数f(x)的值域为{2,3,6,11}．
(2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，
∴f(x)的值域为[2，＋∞)．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)求函数的定义域．
(3)求函数值或值域．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．
1．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
答案 AD
解析 由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．
2．下列图形中不是函数图象的是( )
答案 A
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．
3．若f(x)＝，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.
答案 －
解析 f(3)＝＝－，
f(f(－2))＝f ＝.
4．函数y＝的定义域是________________________．
答案 {x|x≥－1且x≠1}
解析 由题意可得
所以x≥－1且x≠1，
故函数y＝的定义域为{x|x≥－1，且x≠1}．
1．(多选)下列四种说法中，正确的有( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
答案 ACD
解析 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．
2．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B． 3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
3．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
答案 B
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．
4．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
答案 ABC
解析 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．
5．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝x
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x0与g(x)＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
答案 CD
解析 A项，f(x)＝＝－x与g(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
B项，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
C项，f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．
D项，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数．
6．函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B．{x|x>1}
C.
D.
答案 C
解析 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得
即函数的定义域为.
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
答案 －
解析 由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.
8．若f(x)＝，x∈{1,2}，则函数的值域为________．
答案
解析 ∵函数的定义域为{1,2}，
∴f(1)＝＝，
f(2)＝＝＝，
∴函数的值域为.
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝ .
解 (1)要使函数式有意义，
必须满足
即所以≤x≤，
即函数的定义域为.
(2)要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠－3}．
10．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4，且x≠1}．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
11．已知≈1.414 21，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则f(2)＋f(4)等于( )
A．5 B．6 C．3 D．2
答案 C
解析 由题意f(2)＝1，f(4)＝2，
所以f(2)＋f(4)＝3.
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|
答案 A
解析 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2，f(x)＋1＝－x2＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
13．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.
答案 2 0
解析 对任意x∈R,2f(x)－f(－x)＝3x＋1，
令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4， ①
令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2. ②
由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.
14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．
答案 8
解析 利用表格确定函数的个数．
f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
15．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－1)的定义域是________．
答案 {x|0解析 由题意知
即
解得0于是函数g(x)的定义域为{x|016．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f ，f(3)与f ；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f 有什么关系吗？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 023)＋f 的值．
解 (1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，
f ＝1－＝.
f(3)＝1－＝，
f ＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f ＝1.
证明如下：
f(x)＋f ＝＋
＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，
∴f(2)＋f ＝1，
f(3)＋f ＝1，
f(4)＋f ＝1，
…，
f(2 023)＋f ＝1.
∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 023)＋f ＝2 022.
